Arsech

Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans Hyperbolicus bzw. Kosekans Hyperbolicus. Als Funktionen werden sie \operatorname{arsech} oder seltener \operatorname{sech}^{-1} bzw. \operatorname{arcsch}(x) und seltener \operatorname{csch}^{-1}(x) geschrieben.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

\operatorname{arsech}(x)  = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}  {x} \right)
\operatorname{arcsch}(x)  = \ln  \left( \frac1x + \sqrt {1+\frac{1}{x^2}} \right)

Eigenschaften

Graph der Funktion Areasecans Hyperbolicus
Graph der Funktion Areakosekans Hyperbolicus
  Areasecans Hyperbolicus Areakosekans Hyperbolicus
Definitionsbereich  0 < x \le 1   - \infty <  x < + \infty \, ; \, x\ne 0
Wertebereich  0  \le f(x) < + \infty  - \infty < f(x) < + \infty \, ; \, f(x) \ne 0
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton fallend x \ne 0 streng monoton fallend
Symmetrien keine Ungerade Funktion
f(x) = − f( − x)
Asymptote  f(x) \to 0  ;  x  \to +1  f(x) \to 0  ;  x \to \pm \infty
Nullstellen x = 1 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen x = 0 x = 0
Extrema keine keine
Wendepunkte  x = \frac{1}{2}\sqrt{2} keine

Spezielle Werte

Es gilt:

\operatorname{arcsch}\, 2=\ln\phi

wobei \!\ \phi den goldenen Schnitt bezeichnet.

Reihenentwicklungen

\begin{alignat}{2} \operatorname{arsech}(x) &= \ln \left(\frac{2}{x}\right) -\sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!! x^{2k}}{(2k)!! 2k } & \qquad \mathrm{f\ddot ur}\, 0<x<1
\\ \operatorname{arcsch}(x) &= \sum^{\infty}_{k=1} \frac{P_{k-1}(0)}{k}x^k 
\\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^n \cdot (\tfrac12)_{k-1}}{(2k-1)(k-1)!}\,x^{1-2k}
\end{alignat}

Dabei ist Pk das k-te Legendre-Polynom und (\tfrac12)_n steht für das Pochhammer-Symbol.

Ableitungen

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}{\rm arsech}(x)= - \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}.
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\operatorname{arcsch}(x)= -\frac {1}{x\sqrt{1+x^2}}.

Integrale

\int\operatorname{arsech}(x)\, \mathrm dx = x\cdot\operatorname{arsech}(x) - \arctan\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)
\int\operatorname{arcsch}(x)\, \mathrm dx = x\cdot\operatorname{arcsch}(x) + \ln\left( x+x\sqrt {1+{x}^{-2}}\right)

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