Artinsch

Artinsch

Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Der Begriff weist einige Analogien zum Begriff „noethersch“ auf, die beiden Begriffe sind aber nicht auf ganz einfache Weise miteinander verbunden. Zum Beispiel ist jeder artinsche Ring noethersch, aber nicht umgekehrt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein Modul M über einem Ring R mit 1 heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Jede nichtleere Menge von R-Untermoduln von M hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.
  • Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d.h. in einer Kette
 M_1\supseteq M_2\supseteq M_3\supseteq\ldots gibt es einen Index n, so dass für alle i > n gilt: Mi = Mn.
  • Für jede Familie \left( M_i \right)_{i \in I} von Untermoduln existiert eine endliche Teilmenge I0 von I, so dass gilt: \bigcap_{i \in I} M_i = \bigcap_{i \in I_0} M_i

Ein Ring R heißt linksartinsch, wenn R artinsch als R-Linksmodul ist.

Ein Ring R heißt rechtsartinsch, wenn R artinsch als R-Rechtsmodul ist.

Ein Ring R heißt artinsch, wenn R links- und rechtsartinsch ist.

(Man beachte: Die Untermoduln sind dann gerade die (Links- / Rechts-)Ideale.)

Eigenschaften

  • Untermoduln und Quotientenmoduln artinscher Moduln sind artinsch. Ist umgekehrt N ein Untermodul des Moduls M, und sind N und der Quotient M / N artinsch, so ist auch M artinsch.
  • Endlich erzeugte Moduln über einem artinschen Ring sind artinsch. Genauer sind für einen (Links-)Modul M über einem (links-)artinschen Ring R äquivalent:
    • M ist (links-)artinsch
    • M ist (links-)noethersch
    • M ist endlich erzeugt
  • Als Spezialfall der letzten Aussage, nämlich falls M = R ist, gilt: Jeder (links-)artinsche Ring ist auch (links-)noethersch. Es gilt aber nicht, daß jeder noethersche Ring auch artinsch wäre. Stattdessen gilt beispielsweise:
  • Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist. (Ein Ring R ist nulldimensional, wenn jedes Primideal ein maximales Ideal ist.)
  • Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper; umgekehrt ist jeder Körper artinsch. (Dies ist ein Spezialfall der vorigen Aussage, denn nulldimensionale Integritätsringe sind Körper.) Es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.

Beispiele

  • Moduln und Ringe, die aus nur endlich vielen Elementen bestehen, sind artinsch.
  • Ist R eine (assoziative) Algebra über einem Körper K, und hat ein R-Modul M endliche K-Dimension, so ist M artinsch. Beispielsweise sind die Ringe K\times K und K[T] / (Tn) artinsch.
  • Die \mathbb{Z}-Moduln \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} sind artinsch, \mathbb{Z} selbst jedoch nicht.
  •   \begin{pmatrix} 
    \mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\ 
    0 & \mathbb{Q}  
  \end{pmatrix} 
   ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
  •  \begin{pmatrix} 
    \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\ 
    0 & \mathbb{R}  
  \end{pmatrix}
  ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

Literatur


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Artinscher Modul — Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Siehe auch …   Deutsch Wikipedia

  • Artinscher Ring — Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Siehe auch …   Deutsch Wikipedia

  • Noethersch — In der Algebra werden bestimmte Strukturen (Ringe und Moduln) noethersch genannt, wenn sie keine unendliche Schachtelung von immer größeren Unterstrukturen enthalten können. Der Begriff ist nach der Mathematikerin Emmy Noether benannt.… …   Deutsch Wikipedia

  • Noethersche Moduln — In der Algebra werden bestimmte Strukturen (Ringe und Moduln) noethersch genannt, wenn sie keine unendliche Schachtelung von immer größeren Unterstrukturen enthalten können. Der Begriff ist nach der Mathematikerin Emmy Noether benannt.… …   Deutsch Wikipedia

  • Noetherscher Modul — In der Algebra werden bestimmte Strukturen (Ringe und Moduln) noethersch genannt, wenn sie keine unendliche Schachtelung von immer größeren Unterstrukturen enthalten können. Der Begriff ist nach der Mathematikerin Emmy Noether benannt.… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Krull-Remak-Schmidt — Der Satz von Krull Remak Schmidt ist ein wichtiger Satz in der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er besagt, dass sich unter bestimmten Endlichkeitsvoraussetzungen Gruppen bzw. Moduln im Wesentlichen eindeutig als direktes Produkt ihrer… …   Deutsch Wikipedia

  • Halbeinfacher Modul — Als halbeinfach bezeichnet man in der Mathematik bestimmte Strukturen, die auf vergleichsweise leicht verständliche Weise aus „Grundbausteinen“ zusammengesetzt sind. Der Begriff wird im mathematischen Gebiet der Algebra in unterschiedlichen… …   Deutsch Wikipedia

  • Einfacher Modul — In der Mathematik ist ein einfacher Modul (auch irreduzibler Modul genannt) eine besondere Form eines Moduls, also einer algebraischen Struktur. Einfache Moduln erfüllen eine gewisse Minimalitätseigenschaft: Sie sind „kleinste“ Moduln in dem… …   Deutsch Wikipedia

  • Hauptidealsatz — Die Dimension oder genauer Krulldimension (nach Wolfgang Krull), auch Chevalleydimension (nach Claude Chevalley), eines kommutativen Ringes mit Einselement ist die anschauliche Dimension der ihm in der algebraischen Geometrie zugeordneten… …   Deutsch Wikipedia

  • Integritätsbereich — In der Algebra ist ein Integritätsring oder Integritätsbereich ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement, das von Null verschieden ist. Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”