Artinscher Ring

Der Begriff artinscher Ring oder artinscher Modul (nach Emil Artin) beschreibt im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine gewisse Endlichkeitsbedingung.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein Modul M über einem Ring mit 1 heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • (absteigende Kettenbedingung) Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d.h. in einer Kette
 M_1\supseteq M_2\supseteq M_3\supseteq\ldots gibt es einen Index N, so dass
 M_N=M_{N+1}=M_{N+2}=\ldots gilt.
  • (Minimalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von R-Untermoduln von M hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.


Ein Ring R heißt linksartinsch, wenn R artinsch als R-Linksmodul ist.

Ein Ring R heißt rechtsartinsch, wenn R artinsch als R-Rechtsmodul ist.

Ein Ring R heißt artinsch, wenn R links- und rechtsartinsch ist.

Die Untermoduln sind dann gerade die Ideale.

Eigenschaften

  • Ist R eine (assoziative) Algebra über einem Körper K, und hat ein R-Modul M endliche K-Dimension, so ist M artinsch.
  • Ein kommutativer Ring mit Einselement ist genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist. (Ein Ring ist nulldimensional, wenn jedes Primideal maximal ist.) Insbesondere ist jeder Körper artinsch.
  • Endlich erzeugte Moduln über einem artinschen Ring sind artinsch.
  • Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper, es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.
  • Ein linksartinscher Ring ist auch linksnoethersch. (die Umkehrung gilt i.A. nicht, auch gilt dies nicht für R-Moduln)

Beispiele

  • Ist K ein Körper, so sind die Ringe K\times K und K[T] / (Tn) artinsch.
  • Die \mathbb{Z}-Moduln \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} sind artinsch, \mathbb{Z} selbst jedoch nicht.
  •   \begin{pmatrix} 
    \mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\ 
    0 & \mathbb{Q}  
  \end{pmatrix} 
   ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
  •  \begin{pmatrix} 
    \mathbb{Q} & \mathbb{R} \\ 
    0 & \mathbb{R}  
  \end{pmatrix}
  ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

Siehe auch


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