Orientierung (Mathematik)

Orientierung (Mathematik)

Die Orientierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und der Differentialgeometrie. In einem n-dimensionalen Raum haben zwei Basen die gleiche Orientierung, wenn sie durch lineare Abbildungen mit positiver Determinante (zum Beispiel Streckungen und Drehungen) auseinander hervorgehen. Sind zusätzlich Spiegelungen erforderlich, so ist die Determinante negativ und die Basen sind nicht gleich orientiert.

Anschaulich gibt es zwei mögliche Orientierungen, ein Wechsel zwischen den Orientierungen ist durch Drehungen nicht möglich. Beispiele:

Inhaltsverzeichnis

Orientierung eines Vektorraums

Einleitung

V sei ein endlichdimensionaler \mathbb{R}-Vektorraum. Dann kann man jede lineare Abbildung f:V \rightarrow V (solch eine Abbildung nennt man einen Endomorphismus) als (Koordinaten-)matrix darstellen. Diese Matrixdarstellung ist jedoch von der Wahl der Basis von V abhängig. Seien nun A und B Basen von V. Um nun f von der Basis A in die Basis B zu transformieren, kann man immer eine Basiswechselsmatrix T^{A}_{B} finden. Es ändert sich also unter verschiedenen Basen die Darstellung der Funktion f.

Nun untersucht man die Determinante von T^{A}_{B}. Diese kann niemals Null werden, da Basiswechselmatrizen immer bijektiv und damit regulär sind. Nimmt \det(T^{A}_{B}) einen positiven Wert an, so sagt man, die Basen A und B haben dieselbe Orientierung. Wie man sich leicht überlegen kann, ist nicht jeder Vektorraum orientierbar. Um einen orientierbaren Vektorraum zu erhalten, muss dieser über einem Körper mit Ordnungsrelation definiert sein, so zum Beispiel alle Vektorräume über \mathbb{R}.

Definition

Die Orientierung ist über eine Äquivalenzrelation zwischen Basen eines \R-Vektorraumes definiert. Man definiert die Äquivalenzrelation über die Basistransformationsmatrix T^{A}_{B} zwischen zwei Basen A, B wie folgt:

 A \sim B :\Leftrightarrow \det \big(T^{A}_{B}\big) > 0.

Bezüglich dieser Äquivalenzrelation gibt es zwei Äquivalenzklassen. Dass diese Äquivalenzrelation wohldefiniert ist und es tatsächlich nur zwei Äquivalenzklassen gibt, sichert der Determinantenmultiplikationssatz sowie die Tatsache, dass Basistransformationen umkehrbar sind.

Man nennt nun jede dieser beiden Äquivalenzklassen eine Orientierung. Eine Orientierung eines Vektorraums wird also angegeben, indem man eine Äquivalenzklasse von Basen angibt, zum Beispiel, indem man eine zu dieser Äquivalenzklasse gehörende Basis angibt.

Jede zu der ausgewählten Äquivalenzklasse gehörende Basis heißt dann positiv orientiert, die andern heißen negativ orientiert.

Beispiel

In \R^2 sind sowohl (e1,e2), als auch (e2,e1) Basen. Die Basistransformationsmatrix ist  M=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0 \end{smallmatrix}\right). Die Determinante von M ist: det(M) = − 1. Also sind die beiden Basen nicht gleich orientiert und Repräsentanten der beiden verschiedenen Äquivalenzklassen.

Das lässt sich leicht veranschaulichen: Die erste Basis entspricht einem „normalen“ (x,y)-Koordinatensystem, bei dem die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach oben „zeigt“. Kehrt man eine dieser beiden Achsen um, „zeigt“ also die x-Achse nach links oder die y-Achse nach unten, dann erhält man eine zweite Basis mit anderer Orientierung.

Orientierung einer Mannigfaltigkeit

Definition (mittels des Tangentialraums)

Eine Orientierung \mathfrak O = \left\{ \mathfrak O_x \right\}_{x\in M^k} einer Mannigfaltigkeit Mk ist eine Familie von Orientierungen für jeden einzelnen Tangentialraum TxMk, die in folgendem Sinne stetig vom Fußpunkt x abhängt:

\forall x \in M^k existiert eine Karte (h,U \ni x), so dass die Basis \left( h_{\star}(\tfrac{\partial}{\partial y^1}), \ldots, h_{\star}(\tfrac{\partial}{\partial y^k}) \right) der Orientierung \mathfrak O_{y} \, \forall y \in U entspricht.

Eine Mannigfaltigkeit ist orientierbar, falls eine solche Orientierung existiert. Eine einfachere Charakterisierung von Orientierbarkeit erhält man mittels folgendem Satz:

Mk ist orientierbar. \Leftrightarrow Es existiert ein Atlas (hi,Ui) derart, dass  \det\big( D_x(h_i \circ h_j^{-1})\big) >0 für Karten hi,hj mit nichtleerem Schnitt (U_i \cap U_j \neq \emptyset ) und für alle x\in h_j(U_i \cap U_j). Dx bezeichnet dabei die Jacobi-Matrix.

Das wäre eine Charakterisierung in lokalen Koordinaten.

Koordinatenfreie Definition

Sei M eine glatte, n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Diese Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn auf M eine glatte, nicht-degenerierte n-Form α existiert.

Homologische Orientierung einer Mannigfaltigkeit

Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und R ein Ring. Mit Hilfe des Ausschneidungsaxioms für eine Homologietheorie erhält man:

 H_n(M,M\setminus\{x\})\cong H_n(\R^n,\R^n\setminus\{0\})\cong R

Eine R-Orientierung auf M ist eine Auswahl von Erzeugern

\{\mu_x\in H_n(M,M\setminus\{x\})|x\in M\}

mit folgender Kompatibilitätsbedingung: Für jedes x\in M gibt es eine offene Umgebung U\subset M und ein Element \mu_U\in H_n(M,M\setminus U), so dass für alle  y\in U die von der Inklusion von Raumpaaren induzierte Abbildung auf der Homologie

 H_n(M,M\setminus U)\rightarrow H_n(M,M\setminus \{y\})

das Element μU auf μy abbildet. Beispielsweise stimmt der Begriff der  \Z-Orientierung mit dem gewöhnlichen Orientierungsbegriff überein. Für andere Ringe kann man allerdings andere Ergebnisse erhalten; so ist zum Beispiel jede Mannigfaltigkeit \Z_2-orientierbar.

Literatur

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium - Grundkurs Mathematik).
  • Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Tudor Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Ausgabe. Springer-Verlag, New York u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, (Applied mathematical sciences 75), (Auch Nachdruck dieser Auflage: 2009).
  • Klaus Jänich: Vektoranalysis. 2. Auflage S. 70 ff. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-57142-6 (Springer-Lehrbuch).

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Orientierung — steht für: Orientierung (mental), eine kognitive Fähigkeit, die die Orientierung eines Subjekts in Zeit, Raum und bezüglich der eigenen Person umfasst. Räumliche Orientierung, die Fähigkeit sich im Nahraum (Raum Lage Orientierung) und weiträumig… …   Deutsch Wikipedia

  • Mathematik — Die Mathematik (griechisch μαθηματική τέχνη mathēmatikē téchnē: „die Kunst des Lernens, zum Lernen gehörig“; umgangssprachlich Mathe) ist die Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand. Für… …   Deutsch Wikipedia

  • Orientierung — Ori|en|tie|rung [ori̯ɛn ti:rʊŋ], die; : 1. Fähigkeit, sich zu orientieren (1): eine gute Orientierung haben; die Orientierung verlieren. 2. geistige Einstellung, Ausrichtung: die Orientierung unserer Gesellschaft an den USA. * * * Ori|en|tie|rung …   Universal-Lexikon

  • Fläche (Mathematik) — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses… …   Deutsch Wikipedia

  • Vektor (Mathematik) — Ein Vektor (lat. vector „jemand, der trägt, zieht oder befördert“; zu lat. vehere = fahren) ist in der Mathematik ein Element eines Vektorraums. Das bedeutet unter anderem, dass sich beliebige zwei Vektoren durch Addition zu einem dritten Vektor… …   Deutsch Wikipedia

  • Studium der Mathematik — In Mathematik gibt es im deutschsprachigem Raum drei Arten von Studiengängen, das klassische Diplom, das klassische Lehramtsstudium und die neuen Bachelor und Masterstudiengänge. Daneben kann Mathematik mitunter als Magisternebenfach belegt… …   Deutsch Wikipedia

  • Bundeswettbewerb Mathematik — Der Bundeswettbewerb Mathematik (BWM) ist ein bundesweiter Mathematikwettbewerb in Deutschland, der sich vorrangig an Schüler der Oberstufe richtet. Er findet seit 1970 jährlich statt. Trotz der Orientierung auf die Oberstufe sind sämtliche… …   Deutsch Wikipedia

  • Determinante (Mathematik) — In der Linearen Algebra ist die Determinante eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix oder einem linearen Endomorphismus einen Skalar zuordnet. Zum Beispiel hat die Matrix die Determinante Formeln für größere Matrizen werden weiter …   Deutsch Wikipedia

  • Figur (Mathematik) — Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung. Eine geometrische Figur oder Form ist eine zusammenhängende… …   Deutsch Wikipedia

  • Sphäre (Mathematik) — Darstellung der 2 Sphäre Unter einer Sphäre versteht man in der Mathematik die Verallgemeinerung der Oberfläche einer Kugel auf beliebig viele Dimensionen. Ein wichtiger Spezialfall ist die Einheitssphäre, die Oberfläche einer Kugel mit Radius… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”