Assoziativ-Gesetz

Das Assoziativgesetz (lat. associare - vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Assoziativgesetz = Klammergesetz

In einem Summen- oder Produktterm darf man die Summanden oder Faktoren beliebig mit Klammern verbinden. Dies gilt auch für mehr als drei Summanden oder Faktoren.

Eine binäre Verknüpfung {\circ}\colon A \times A\to A auf einer Menge A heißt assoziativ, wenn für alle a,b,c\in A gilt

 a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c (Assoziativität)

Folgerungen

Bei Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen. Wegen

 \left( a \circ b \right) \circ c = a \circ \left( b \circ c \right)

ist der Ausdruck

 a \circ b \circ c

eindeutig, da aus jeder beliebigen Klammerung immer das gleiche Ergebnis folgt.

Beispiele

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ, es gilt zum Beispiel Addition:

(2+3)+7=5+7=12\quad =\quad 2+(3+7)=2+10=12


Multiplikation:

(2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42\quad =\quad 2\cdot (3\cdot 7)=2\cdot 21=42


Die Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist z. B. Subtraktion

 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad (2 - 3) - 1 = -2 .

Division:

 (4/2)/2 = 1 \quad\neq\quad 4/(2/2)= 4 .

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da z. B.

2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad (2^2)^3 = 4^3 = 64

gilt.

Einordnung

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Siehe auch

Literatur

Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5. 


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Assoziativ — Assoziativ, vereinigend, verbindend. Assoziatives Gesetz, s. Addition und Multiplikation …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Formelsammlung Algebra — Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind. Inhaltsverzeichnis 1 Grundrechenarten 2 Arithmetische Notation 3 Axiome 4 Elementare Funktionen 4.1 …   Deutsch Wikipedia

  • Assoziativgesetz — Verbindungsgesetz; Verknüpfungsgesetz * * * Assoziativgesetz,   ein mathematisches Gesetz, das für eine in einer Menge mit den Elementen a, b, c,... definierten Verknüpfung ° (z. B. die Verknüpfung + der Addition oder · der M …   Universal-Lexikon

  • Dr. Mises — Gustav Theodor Fechner Gustav Theodor Fechner (* 19. April 1801 in Groß Särchen bei Muskau; † 18. November 1887 in Leipzig; Pseudonym Dr. Mises) war ein deutscher Physiker und Natur Philosoph. Er vertrat in späten Jahren eine Theorie von der… …   Deutsch Wikipedia

  • Gustav Fechner — Gustav Theodor Fechner Gustav Theodor Fechner (* 19. April 1801 in Groß Särchen bei Muskau; † 18. November 1887 in Leipzig; Pseudonym Dr. Mises) war ein deutscher Physiker und Natur Philosoph. Er vertrat in späten Jahren eine Theorie von der… …   Deutsch Wikipedia

  • Hamilton-Zahl — Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo William Rowan Hamilton die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte. Die Quaternionen (von lat. quaternio „Vierheit“) sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, ähnlich den… …   Deutsch Wikipedia

  • Hamilton-Zahlen — Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo William Rowan Hamilton die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte. Die Quaternionen (von lat. quaternio „Vierheit“) sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, ähnlich den… …   Deutsch Wikipedia

  • Quaternionen — Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo William Rowan Hamilton die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte. Die Quaternionen (von lat. quaternio „Vierheit“) sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, ähnlich den… …   Deutsch Wikipedia

  • Quaternionen-Schiefkörper — Gedenktafel an der Broom Bridge in Dublin, wo William Rowan Hamilton die Multiplikationsregeln im Oktober 1843 spontan in den Stein ritzte. Die Quaternionen (von lat. quaternio „Vierheit“) sind eine Erweiterung der reellen Zahlen, ähnlich den… …   Deutsch Wikipedia

  • Antezedens und Sukzedens — Eine Implikation (von lat. implicare, „einwickeln“) bezeichnet: bildungssprachlich die Einbeziehung einer Sache in eine andere; ein mitgemeinter, aber nicht explizit ausgedrückter Bedeutungsinhalt. In der Logik die Verknüpfung von Aussagen a und… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”