Assoziierte Legendre-Polynome

Bei zugeordnete Legendrepolynome bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.

Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendre-Gleichung: $(1-x^2) \, \frac{\mathrm{d}^2\,y}{\mathrm{d}x^2} - 2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right) \, y = 0$

Diese gewöhnliche Differenzialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall [-1, 1] nur dann, wenn $\ell\,$ und $m\,$ ganzzahlig sind mit $0 \le m \le \ell$.

Man begegnet der allgemeinen Legendre-Gleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendre-Gleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.

Definition

Die zugeordneten Legendrepolynome werden als $P_\ell^{(m)}(x)$ bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:

$P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_\ell(x)$

wobei $P_\ell(x)$ das $\ell$-te Legendrepolynom ist

$P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell \, \ell!} \, \frac{\mathrm{d}^\ell}{\mathrm{d}x^\ell} \left(x^2-1\right)^\ell$.

Daraus ergibt sich

$P_\ell^{(m)}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \, \ell!} \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{\ell+m}}{\mathrm{d}x^{\ell+m}} \left(x^2-1\right)^\ell.$

Zusammenhang mit Legendre-Polynomen

Die verallgemeinerte Legendre-Gleichung geht für m = 0 in die Legendre-Gleichung über, sodass $P_\ell^{(0)}(x) = P_{\ell}(x)$ gilt.

Orthogonalität

Für die zugeordneten Legendre-Polynome gelten im Intervall I = [-1,1] zwei Orthogonalitätsrelationen:

$\int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_k^{(m)}(x) \, \mathrm{d}x = \frac{2}{2\,\ell+1} \, \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{\ell k}.$

$\int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_\ell^{(n)}(x) \cdot \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{mn}.$

Oft wird $P_\ell^{(m)}(\cos\vartheta)$ betrachtet, für diese gilt die Normierung auf der Einheitskugel

$\int\limits_0^\pi \left| P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \right|^2 \, \sin\vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = 1.$

Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} \vartheta^2} + \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} \vartheta} + \left[ \ell\,(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \vartheta} \right] y = 0.$

Über $P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta)$ werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als

$Y_\ell^{(m)}(\varphi,\vartheta) = \sqrt{\frac{2\,\ell + 1}{4\,\pi} \, \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} \, P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \, \mathrm{e}^{i\,m\,\varphi},$

welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.

Die ersten zugeordneten Legendre-Polynome

Für die zugeordneten Legendre gilt folgende Rekursionsformel

$(\ell-m) \, P_\ell^{(m)}(x) = x\,(2\,\ell-1) \, P_{\ell-1}^{(m)}(x) - (\ell+m-1)\,P_{\ell-2}^{(m)}(x).$

Die ersten Legendre-Polynomen bestimmen sich damit zu

$P_0^{(0)}(x) = 1\!\,$

$P_1^{(0)}(x) = x\!\,$

$P_1^{(1)}(x) = -\sqrt{1 - x^2}$

$P_2^{(0)}(x) = \frac{1}{2}\,(3\,x^2 - 1)$

$P_2^{(1)}(x) = -3\,x\sqrt{1-x^2}$

$P_2^{(2)}(x) = 3\,(1-x^2)$

Und mit $\cos\vartheta$ als Argument

$P_0^{(0)}(\cos\vartheta) = 1$

$P_1^{(0)}(\cos\vartheta) = \cos\vartheta$

$P_1^{(1)}(\cos\vartheta) = -\sin\vartheta$

$P_2^{(0)}(\cos\vartheta) = \frac{1}{2}\,(3\,\cos^2\vartheta - 1)$

$P_2^{(1)}(\cos\vartheta) = -3\,\sin\vartheta\,\cos\vartheta$

$P_2^{(2)}(\cos\vartheta) = 3\,\sin^2\vartheta$

Zugeordnete Legendre Funktionen 2. Art

Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome $P_\ell^{(m)}$ nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendre-Funktionen 2. Art $Q_\ell^{(m)}(x)$ stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt $Q_\ell^{(0)} = Q_\ell$ mit den Legendre-Funktionen 2. Art $Q_\ell(x)$.