Assoziierte Legendre-Polynome

Bei zugeordnete Legendrepolynome bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.

Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendre-Gleichung: (1-x^2) \, \frac{\mathrm{d}^2\,y}{\mathrm{d}x^2} - 2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right) \, y = 0

Diese gewöhnliche Differenzialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall [-1, 1] nur dann, wenn \ell\, und m\, ganzzahlig sind mit 0 \le m \le \ell.

Man begegnet der allgemeinen Legendre-Gleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendre-Gleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die zugeordneten Legendrepolynome werden als P_\ell^{(m)}(x) bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:

P_\ell^{(m)}(x) = (-1)^m \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m} P_\ell(x)

wobei P_\ell(x) das \ell-te Legendrepolynom ist

P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell \, \ell!} \, \frac{\mathrm{d}^\ell}{\mathrm{d}x^\ell} \left(x^2-1\right)^\ell.

Daraus ergibt sich

P_\ell^{(m)}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \, \ell!} \left(1-x^2\right)^{m/2} \frac{\mathrm{d}^{\ell+m}}{\mathrm{d}x^{\ell+m}} \left(x^2-1\right)^\ell.

Zusammenhang mit Legendre-Polynomen

Die verallgemeinerte Legendre-Gleichung geht für m = 0 in die Legendre-Gleichung über, sodass P_\ell^{(0)}(x) = P_{\ell}(x) gilt.

Orthogonalität

Für die zugeordneten Legendre-Polynome gelten im Intervall I = [-1,1] zwei Orthogonalitätsrelationen:

\int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_k^{(m)}(x) \, \mathrm{d}x = \frac{2}{2\,\ell+1} \, \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{\ell k}.
\int\limits_{-1}^{+1} P_\ell^{(m)}(x) \, P_\ell^{(n)}(x) \cdot \frac{1}{1 - x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \, \delta_{mn}.

Oft wird P_\ell^{(m)}(\cos\vartheta) betrachtet, für diese gilt die Normierung auf der Einheitskugel

\int\limits_0^\pi \left| P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \right|^2 \, \sin\vartheta \, \mathrm{d} \vartheta = 1.

Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann

\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} \vartheta^2} + \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} \vartheta} + \left[ \ell\,(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \vartheta} \right] y  = 0.

Über P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als

Y_\ell^{(m)}(\varphi,\vartheta) = \sqrt{\frac{2\,\ell + 1}{4\,\pi} \, \frac{(\ell - m)!}{(\ell + m)!}} \, P_\ell^{(m)}(\cos \vartheta) \, \mathrm{e}^{i\,m\,\varphi},

welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.

Die ersten zugeordneten Legendre-Polynome

Für die zugeordneten Legendre gilt folgende Rekursionsformel

(\ell-m) \, P_\ell^{(m)}(x) = x\,(2\,\ell-1) \, P_{\ell-1}^{(m)}(x) - (\ell+m-1)\,P_{\ell-2}^{(m)}(x).

Die ersten Legendre-Polynomen bestimmen sich damit zu

P_0^{(0)}(x) = 1\!\,
P_1^{(0)}(x) = x\!\,
P_1^{(1)}(x) = -\sqrt{1 - x^2}
P_2^{(0)}(x) = \frac{1}{2}\,(3\,x^2 - 1)
P_2^{(1)}(x) = -3\,x\sqrt{1-x^2}
P_2^{(2)}(x) = 3\,(1-x^2)

Und mit \cos\vartheta als Argument

P_0^{(0)}(\cos\vartheta) = 1
P_1^{(0)}(\cos\vartheta) = \cos\vartheta
P_1^{(1)}(\cos\vartheta) = -\sin\vartheta
P_2^{(0)}(\cos\vartheta) = \frac{1}{2}\,(3\,\cos^2\vartheta - 1)
P_2^{(1)}(\cos\vartheta) = -3\,\sin\vartheta\,\cos\vartheta
P_2^{(2)}(\cos\vartheta) = 3\,\sin^2\vartheta

Zugeordnete Legendre Funktionen 2. Art

Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome P_\ell^{(m)} nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendre-Funktionen 2. Art Q_\ell^{(m)}(x) stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt Q_\ell^{(0)} = Q_\ell mit den Legendre-Funktionen 2. Art Q_\ell(x).


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