Aufpunktvektor

Als Ortsvektor bezeichnet man in der Mathematik und Physik einen Vektor, der von einem festen Bezugspunkt zu einem bestimmten Punkt, dem Aufpunkt, zeigt. Der Ortsvektor wird auch als Aufpunktvektor oder Radiusvektor bezeichnet. Der Vorteil eines Ortsvektors besteht darin, dass mit seiner Hilfe die Position des Aufpunktes ohne Festlegung auf ein bestimmtes Koordinatensystem dargestellt werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen

Kartesisches Koordinatensystem

Der durch einen Ortsvektor beschriebene Aufpunkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems beschrieben werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den Koordinatenursprung gelegt wird.

Kartesische Koordinaten

Üblicherweise wird der Ortsvektor in kartesischen Koordinaten in der Form

\vec r = \vec r\,(x,y,z) = \begin{pmatrix} x  \\ y \\ z\end{pmatrix}

definiert. Daher sind die kartesischen Koordinaten gleichzeitig die Komponenten des Ortsvektors.

Zylinderkoordinaten

Der Ortsvektor als Funktion von Zylinderkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Zylinderkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu

\vec r = \vec r\,(R,\varphi,z) = \begin{pmatrix} R\,\cos\varphi \\ R\,\sin\varphi \\ z\end{pmatrix}.

Kugelkoordinaten

Der Ortsvektor als Funktion von Kugelkoordinaten ergibt sich durch Umrechnen der Kugelkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu

\vec r = \vec r\,(r,\vartheta,\varphi) = \begin{pmatrix} r\,\sin\vartheta\,\cos\varphi \\ r\,\sin\vartheta\,\sin\varphi \\ r\,\cos\vartheta\end{pmatrix}.


Basisvektoren

Die Basisvektoren in den verschiedenen Koordinatensystemen ergeben sich durch Normierung der partiellen Ableitungen des Ortsvektors nach den jeweiligen Koordinaten. Allgemein ergibt sich der zur Koordinate k gehörende Basisvektor zu

\vec e_k = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial k}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial k}\right|}\,.

Kartesische Koordinaten


\vec e_x = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial x}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial x}\right|} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad
\vec e_y = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial y}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial y}\right|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad
\vec e_z = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial z}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial z}\right|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Die Basisvektoren \vec e_x, \vec e_y und \vec e_z sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Zylinderkoordinaten


\vec e_R = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial R}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial R}\right|} = \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ \sin\varphi \\ 0 \end{pmatrix},\quad
\vec e_\varphi = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}\right|} = \begin{pmatrix} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix},\quad
\vec e_z = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial z}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial z}\right|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Die Basisvektoren \vec e_R, \vec e_\varphi und \vec e_z sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Kugelkoordinaten


\vec e_r = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial r}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial r}\right|} = \begin{pmatrix} \sin\vartheta\,\cos\varphi \\ \sin\vartheta\,\sin\varphi \\ \cos\vartheta \end{pmatrix},\quad
\vec e_\vartheta = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial \vartheta}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial \vartheta}\right|} = \begin{pmatrix} \cos\vartheta\,\cos\varphi \\ \cos\vartheta\,\sin\varphi \\ -\sin\vartheta \end{pmatrix},\quad
\vec e_\varphi = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}}{\left|\frac{\partial \vec r}{\partial \varphi}\right|} = \begin{pmatrix} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0\end{pmatrix}.

Die Basisvektoren \vec e_r, \vec e_\vartheta und \vec e_\varphi sind zueinander orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Wegelement

Ein Wegelement oder Linienelement \mathrm{d} \vec s kann als totales Differential \mathrm{d} \vec r des Ortsvektors dargestellt werden. Allgemein ergibt sich für das vektorielle Wegelement bei Verwendung der Koordinaten k_i\,:

\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \,\mathrm{d}k_i\,.

Mit der obenstehenden Gleichung für die Basisvektoren kann man auch schreiben

\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \vec e_{k_i} \left| \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \right| \,\mathrm{d}k_i\,.

Die Beträge der Ableitungen des Ortsvektors \vec r nach den Koordinaten k_i\, heißen metrische Koeffizienten

g_{k_i} = \left| \frac{\partial \vec r}{\partial k_i} \right|.

Damit kann man das vektorielle Wegelement in der Form

\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \sum_i \vec e_{k_i}\,g_{k_i}\,\mathrm{d}k_i

darstellen. Für die bisher betrachteten Koordinatensysteme ergeben sich daraus die folgenden Darstellungsformen:

  • Kartesische Koordinaten:
\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_x\,\mathrm{d}x + \vec e_y\,\mathrm{d}y + \vec e_z\,\mathrm{d}z \,,
  • Zylinderkoordinaten:
\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_R\,\mathrm{d}R + \vec e_\varphi\,R\,\mathrm{d}\varphi + \vec e_z\,\mathrm{d}z \,,
  • Kugelkoordinaten:
\mathrm{d}\vec s = \mathrm{d}\vec r = \vec e_r\,\mathrm{d}r + \vec e_\vartheta\,r\,\mathrm{d}\vartheta + \vec e_\varphi\,r\,\sin\vartheta\,\mathrm{d}\varphi \,.

Relativistische Koordinaten

In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden Raum und Zeit als eine zusammenhängende, vierdimensionale pseudoriemannsche Mannigfaltigkeit, der sogenannten Raumzeit, beschrieben. Ein Punkt auf dieser Mannigfaltigkeit, der durch 3 Raumkoordinaten und eine Zeitkoordinate festgelegt wird, wird als Ereignis bezeichnet. Für jeweils zwei Ereignisse kann durch die Minkowski-Metrik ein Linienelement ds definiert werden, welches zur Eigenzeit proportional ist.

ds2 = ημνdxμdxν = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2.

Hierbei bezeichnet ημν = diag(1, − 1, − 1, − 1) die Minkowski-Metrik und dxμ das Vierervektordifferential.

Physik

In der Physik sind viele Größen vom Ortsvektor abhängig, wie etwa die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Massenpunktes, oder eine Dichteverteilung.

Der Betrag des Ortsvektors ist die Entfernung des Punktes vom Ursprung, da der Betrag gerade die Länge des Vektors ist.

Die Ableitung des Ortsvektors \vec r(t) nach der Zeit t ergibt den Geschwindigkeitsvektor

\vec v(t) = \dot \vec r(t).

Durch nochmalige Ableitung ergibt sich der Beschleunigungsvektor

\vec a(t) = \dot \vec v(t) = \ddot \vec r(t).

Trajektorie

Als Trajektorie bezeichnet man den Weg, auf dem sich ein Punkt (z. B. der Schwerpunkt eines Körpers) bewegt. Wenn man die Position eines Punktes durch einen Ortsvektor \vec r(t) beschreibt, der von einem Parameter t (z. B. der Zeit) abhängt, so beschreibt die Abbildung t \mapsto \vec r(t) bei Variation von t eine Trajektorie, d. h. zu jedem Wert von t gibt es einen bestimmten Punkt im Raum. Die Menge aller Punkte des Weges heißt Kurve, hier speziell Bahnkurve.

Wenn beispielsweise \vec r(t) die zeitabhängige Bewegung eines Punktes beschreibt, so ergibt sich für die Länge des zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 zurückgelegten Weges:

s_{1,2} = \int_{t_1}^{t_2} \left|\dot\vec r(t)\right|\,\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \left|\vec v(t)\right|\,\mathrm{d}t \,.

Himmelsmechanik

In der Himmelsmechanik wird der Orts- oder Radiusvektor verwendet, um die Position eines Himmelskörpers bezogen auf das Schwerezentrum anzugeben, um welches er sich auf einer Umlaufbahn bewegt (Gravizentrisches Koordinatensystem). Der Radiusvektor liegt hierbei stets in Richtung der Gravitationslinie und die Strecke des Ortsvektors wird Fahrstrahl genannt. Der Fahrstrahl ist die zentrale Größe des zweiten Keplergesetzes (Flächensatz).

Siehe auch: Hodograph

Siehe auch


Literatur


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Synonyme:

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