Polyzylinder

In der mehrdimensionalen Funktionentheorie ist der Polyzylinder das kartesische Produkt von Kreisscheiben.

Bezeichnet man genauer mit $\Delta(z,r) = \{ w\in\mathbb{C} \mid |z-w|<r \}$ eine offene Kreisscheibe in der komplexen Ebene, dann ist der Polyzylinder um den Punkt $z = (z_1,\dots,z_n) \in\mathbb{C}^n$ mit dem Multiradius $r = (r_1,\dots,r_n)$ gegeben als

$\Delta(z_1,r_1) \times \dots \times \Delta(z_n,r_n)$

oder äquivalent als

$\{ w=(w_1,\dots,w_n) \in \mathbb{C}^n \mid |z_k - w_k| < r_k,\, k = 1,\dots,n \}.$

Der Polyzylinder ist ebenso wie die euklidische Kugel $\{ w\in\mathbb{C}^n \mid \sum_{j=1}^n |w_j-z_j|^2 < r^2 \}$ eine Verallgemeinerung der eindimensionalen Kreisscheibe. Für n > 1 sind diese beiden Mengen aber nicht biholomorph äquivalent. Diese Aussage wurde 1907 von Poincaré bewiesen, indem er zeigte, dass die Automorphismengruppen der beiden Mengen als Lie-Gruppen unterschiedliche Dimension haben.

Literatur

• Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
• Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969