Produktzeichen

In der Mathematik bezeichnet der Begriff Produkt eine Verknüpfung zweier Elemente. Das bekannteste Produkt ist die Multiplikation von Zahlen.

Produkt von Zahlen

Hauptartikel: Multiplikation

Hauptbedeutung ist das Ergebnis der Multiplikation reeller Zahlen. Man schreibt

$a\cdot b = \sum_{i=1}^b a$

und nennt a und b Faktoren und die rechte Seite das Produkt von a und b.

Symbolik

Analog zum Summensymbol $\sum$ (großes Sigma) gibt es in der Mathematik das Produktsymbol $\prod$ (großes Pi), um ein Produkt mehrerer Faktoren darzustellen.

$\prod_{k=1}^n a_k$ liest man als „Produkt über a_k für k von 1 bis n “; der Ausdruck bedeutet $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$.

Siehe auch: Multiplikation#Produktsymbol

Produkte komplexer Zahlen

Zwei komplexe Zahlen a + bi und c + di werden wie eine Summen zweier reeller Zahlen multipliziert:

$(a+b\mathrm i)(c+d\mathrm i) = ac+ ad\mathrm i + bc\mathrm i -bd = \mathrm i(ad+bc)+(ac-bd) \!\,$,

da i² = − 1.

Produkte innerhalb der Quaternionen

Die Menge $\mathbb H$ der Quaternionen entsteht, indem man zu den reellen Zahlen $\mathbb R$ drei neue Zahlen i,j und k hinzufügt, wobei gilten muss:

i² = j² = k² = − 1.

Es gelten folgende Multiplikationsregeln für das Bilden von Produkten in der Menge der Quaternionen:

• $i \cdot j = k \quad k \cdot i = j \quad j \cdot k = i \!\,$
• $j \cdot i = -k \quad k \cdot j = -i \quad i \cdot k = -j \!\,$

Diese beiden Regeln ergeben sich, da Quaternionen antikommutativ sind.

Eine Quaternion der Form x₀ + x₁i + x₂j + x₃k hat einen Real- oder Skalarteil

$\Re{(x)} = x_0 \!\,$

und einen Imaginär- oder Vektorteil

$\Im{(x)}=x_1i + x_2j + x_3k \!\,$

Aus diesem Grund ist es möglich, mithilfe des Vektor- bzw. Skalarprodukts zu rechnen. Dazu stellt man die Quaternion auch so dar:

$(s, \vec v),$

wobei gilt:

$s=x_0 \quad \vec v =(x_1,x_2,x_3)$

Das Vektorprodukt aus zwei Vektorteilen der Quaternionen $x= (s,\vec v)$ und $y= (t,\vec w)$ ist wie folgt definiert:

$\vec v \times \vec w = \frac{xy-yx}{2}$

Das Skalarprodukt zweier Quaternionen ist der Skalarteil von $\overline x \cdot y$ bzw. von $x \cdot \overline y$, wobei $\overline x$ bzw. $\overline y$ eine Konjugation ausdrückt. Es gilt also:

$x_0 y_0 + x_1 y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3 = \Re{(x \overline y)} = \Re{(\overline x y)}$

Produkte von Vektoren

Es gibt zwei Arten von Produkten aus Vektoren, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt. In beiden Fällen werden zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ miteinander multipliziert.

Skalarprodukt

Hauptartikel: Skalarprodukt

Im Fall des Skalarprodukts (auch inneres Produkt) ist das Produkt der zwei Vektoren, die multipliziert werden, ein Skalar. Allgemein gilt:

$\vec a \cdot \vec b = |a| \cdot |b| \cdot \cos { \vartheta }$,

wobei $\vartheta$ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.

Das Skalarprodukt unterliegt der Kommutativität und der Distributivität. Außerdem kann dem Skalarprodukt auch ein Betrag zugeordnet werden, da cos0 = 1. Daraus folgt: $\vec a \cdot \vec a = a^2 \!\$

Das Vektorprodukt

Hauptartikel: Kreuzprodukt

Das Vektor-, Kreuz- oder äußere Produkt zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist ein weiterer Vektor $\vec c$. Zur Unterscheidung vom Skalarprodukt schreibt man im Fall des Vektorprodukts:

$\vec a \times \vec b = \vec c$.

Es gilt immer:

$|c| = |a| \cdot |b| \cdot \sin{\vartheta}$.

Der Vektor $\vec c$ bildet mit den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ jeweils einen rechten Winkel, woraus folgt, dass das Vektorprodukt nur für den dreidimensionalen Raum definiert ist. Das Vektorprodukt ist ein so genannter axialer Vektor, da er bei einer Punktspiegelung unverändert bleibt. Das Vektorprodukt ist antikommutativ, d.h. es gilt:

$\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a$

Außerdem ist es distributiv und nicht assoziativ.

Höhere Vektorprodukte

Bildet man das Skalarprodukt zweier Vektoren, so kann man dieses natürlich wieder mit einem weiteren Vektor multiplizieren. Dies geht auf zwei Arten, die oben aufgeführt wurden. Das Spatprodukt ist definiert als das Skalarprodukt aus dem Kreuprodukt zweier Vektoren mit einem dritten:

$(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c$

Skalarmultiplikation

Die Skalarmultiplikation ist die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, wobei man als Produkt wiederum einen Vektor erhält.

Komponentenweises Produkt

Das komponentenweise Produkt zweier Vektoren wird in manchen Programmiersprachen (z. B. MATLAB) mit „.*“ bezeichnet, z. B.

$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \,\,{.*}\, \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 16 \\ 27 \end{pmatrix}$.

In der Mathematik gibt es keine spezielle Notation dafür, insbesondere spielt das komponentenweise Produkt in der linearen Algebra keine besondere Rolle, da es wesentlich von der gewählten Basis abhängt und es daher keine anschauliche geometrische Interpretation dafür geben kann.

Multiplikationen mit Matrizen

Skalarmultiplikation

Soll eine Matrix mit einer einem Skalar multipliziert werden, so wird jedes Matrixelement mit dem Skalar multipliziert.

$x \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax & bx \\ cx & dx \\ ex & fx \end{pmatrix}$.

Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen lassen sich nur multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist. Dann gilt:

$\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} g & h \\ i & j \\ k & l \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ag+bi+ck & ah+bj+cl \\ dg + ei + fk & dh+ej+fl \end{pmatrix}$

Das Matrizenprodukt ist assoziativ aber nicht kommutativ.

Kartesisches Produkt

In der Mengenlehre bezeichnet man als kartesisches Produkt zweier Mengen A und B die Menge aller geordneten Paare mit erstem Glied aus A und zweitem Glied aus B:

$A \times B := \left\{(a, b)|a \in A, b \in B\right\}$.

Der Begriff lässt sich für beliebig viele Mengen verallgemeinern.

Produkt der Kategorientheorie

P ist das Produkt der Objekte A_i

Hauptartikel: Produkt (Kategorientheorie)

In der Kategorientheorie ist das Produkt einer durch die Menge I indizierten Familie von Objekten $(A_i)_{i \in I}$ ein Objekt P zusammen mit einer Familie $(\mbox{pr}_i)_{i \in I}$ von Morphismen $\mbox{pr}_i : P \to A_i$ (genannt Projektionen) mit der folgenden Eigenschaft:

Für jedes Objekt C und jede Familie von Morphismen $f_i : C \to A_i$ gibt es genau einen Morphismus $f : C \to P$ mit $f_i = \mbox{pr}_i \circ f$.

Produkt über einer Indexmenge

Allgemeiner kann das Produkt über einer Indexmenge $I\subset \mathbb Z$ definiert werden:

$\prod_{k\in I} a_k$

liest man „Produkt über a_k für $k\in I$“.

Leeres Produkt

Ist die Menge I im Produkt $\prod_{k\in I} a_k$ gleich der leeren Menge $I=\emptyset,$ definiert mal den Wert dieses Produkts als 1:

$\prod_{k\in \emptyset} a_k\ =1.$

Dies wird auch als leeres Produkt bezeichnet.

Also ist zum Beispiel $\prod_{k=0}^{-1} k=1,$ weil es keine ganze Zahl gibt, die größer gleich 0 und kleiner gleich als − 1 ist. Dagegen ist $\prod_{k=-1}^{0} k=0$. So wird auch die Definition von 0!=1 klarer, denn $0! =\prod_{k=1}^{0} k=1$.

Literatur

• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/Main 2005⁶, ISBN 3-8171-2006-0
• Nolting: Grundkurs Theoretische Physik Bd. 1 - Klassische Mechanik. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2004⁶, ISBN 3-540-21474-7.
• Arens, Hettlich, Karpfinger, Kockelkorn, Lichtenegger, Stachel: Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1758-9.