Ausgewogene Menge

Als ausgewogene Menge wird in der Funktionalanalysis eine Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes bezeichnet, wenn zu jedem Vektor x in T und jeder Zahl r mit | r | < 1 der Vektor rx ebenfalls in T liegt. Die Strecke von -x nach x liegt also in T. Ausgewogene Mengen werden von vielen Autoren auch kreisförmig (engl. circled), scheibenförmig oder balanciert (engl. balanced) genannt.

Ist T ausgewogen und nicht leer, so muss T den Nullvektor enthalten, denn ist x in T, so ist 0 = 0\cdot x \in T.

In einem topologischen Vektorraum enthält jede Umgebung der Null auch eine ausgewogene Nullumgebung. Ist nämlich U eine Nullumgebung, so gibt es wegen der Stetigkeit der skalaren Multiplikation ein \epsilon > 0 und eine Nullumgebung V, so dass r x \in U für alle |r| < \epsilon und alle x in V. Dann ist \bigcup_{|r| < \epsilon} r V eine in U enthaltene ausgewogene Nullumgebung.

In einem topologischen Vektorraum gibt es also stets eine Nullumgebungsbasis aus ausgewogenen Mengen. Hat man umgekehrt auf einem algebraischen Vektorraum ein System \mathcal U von absorbierenden und ausgewogenen Mengen mit den Eigenschaften

  • Für alle U\in {\mathcal U}, r>0 gilt rU\in{\mathcal U},
  • {\mathcal U} enthält mit je zwei Mengen auch deren Durchschnitt,
  • Für jedes U\in {\mathcal U} gibt es ein V\in {\mathcal U} mit V+V\subset U,
  • \bigcap{\mathcal U} = \{0\},

so wird der Vektorraum mit {\mathcal U} als Nullumgebungsbasis zu einem topologischen Vektorraum. Die Ausgewogenheit wird benötigt, um die Stetigkeit der skalaren Multiplikation zu zeigen.

Ausgewogene konvexe Mengen nennt man auch absolutkonvex. Sie spielen in der Theorie der lokalkonvexen Räume ein wichtige Rolle.

Literatur

  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8

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