Ausgleichsproblem

Die Ausgleichungsrechnung (auch Ausgleichsrechnung, Ausgleichung, Parameterschätzung, Anpassung oder Fit(ting) genannt) ist eine mathematische Optimierungsmethode, um für eine Reihe von Messdaten die unbekannten Parameter ihres geometrisch-physikalischen Modells oder die Parameter einer vorgegebenen Funktion zu bestimmen („zu schätzen“).

Ziel der Ausgleichung ist, dass sich das endgültige Modell bzw. die Funktion den Daten und ihren unvermeidlichen kleinen Widersprüchen „bestmöglich“ anpasst. Im Allgemeinen wird die Berechnung mit der Methode der kleinsten Quadrate durchgeführt. Diese Methodik bedeutet, dass an die Beobachtungen kleine Verbesserungen angebracht werden, deren Quadratsumme aber minimal sein soll. Bei zufällig verteilten Modell- oder Messfehlern führt dies zum wahrscheinlichsten Wert für die zu berechnenden Unbekannten. Die verbleibenden kleinen "Reste" werden Residuen genannt und lassen Aussagen über die Genauigkeit und Zuverlässigkeit des Mess- und Datenmodells zu.

Inhaltsverzeichnis

Ausgleichung und Approximationstheorie

Da kleine Widersprüche in allen redundanten, auf Zuverlässigkeit geprüften Daten auftreten (siehe auch Überbestimmung), ist der Umgang mit diesen meist statistisch verteilten Restabweichungen zur wichtigen Aufgabe in verschiedenen Wissenschaften und der Technik geworden. Neben der glättenden Wirkung auf streuende Daten wird die Ausgleichungsrechnung auch zur Milderung von Diskrepanzen etwa in den Sozialwissenschaften verwendet.

Diese Suche nach den naturnahen, wahrscheinlichsten Werten von Systemen oder Messreihen ist in der Sprache der Approximationstheorie die Schätzung von unbekannten Parametern eines mathematischen Modells. Die dabei meist verwendete Methode der kleinsten Quadrate (engl. least mean squares oder kurz least squares) entspricht dem Gauß-Markow-Modell. Im einfachsten Fall hat eine Ausgleichung zum Ziel, eine größere Anzahl empirischer Mess- oder Erhebungsdaten durch eine Kurve zu beschreiben und die Restabweichungen (Residualkategorie) zu minimieren. Eine solche Kurvenanpassung kann auch erstaunlich genau freiäugig-grafisch durch Betrachten der Datenreihe durchgeführt werden, was die naturnahe Charakteristik der „Quadratabweichungsminimierung“ unterstreicht.

Die Ausgleichungsrechnung wurde um 1800 von Carl Friedrich Gauß für ein Vermessungsnetz der Geodäsie und für die Bahnbestimmung von Planetoiden entwickelt. Seither werden Ausgleichungen in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften durchgeführt, bisweilen auch in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Die Ausgleichung nach dem Gauß-Markow-Modell liefert das "bestmögliche" Ergebnis, wenn die Residuen zufällig sind und einer Normalverteilung folgen. Beinhalten die Messungen oder Daten allerdings auch systematische Einflüsse oder grobe Fehler, dann ist das „ausgeglichene“ Ergebnis verfälscht und die Residuen weisen einen Trend hinsichtlich der Störeinflüsse auf. In solchen Fällen sind weitere Analysen erforderlich wie z. B. eine Varianzanalyse oder die Wahl eines „robusten Schätzverfahrens“.

Einführung

Im einfachsten Fall handelt es sich um die Ausgleichung der Messabweichungen (Verbesserung, Residuum) nach der Methode der kleinsten Quadrate (alternativ nach einer anderen Residuenbewertungsfunktion, z. B. Minimierung der Absolutabweichung). Hierbei werden die Unbekannten (die Parameter) des Modells so bestimmt, dass die Quadratsumme der Messabweichungen aller Beobachtungen minimal wird. Die Messdaten stimmen dann erwartungstreu mit dem theoretischen Modell überein.

Damit handelt es sich um ein Optimierungsverfahren. Die Rechenschritte einer Ausgleichung vereinfachen sich, wenn die Beobachtungen als normalverteilt, gleichgenau und unkorreliert angesehen werden. Ungleiche Genauigkeiten (etwa von Messgrößen) können durch Gewichtung berücksichtigt werden. Weitergehende stochastische Eigenschaften der Beobachtungen können in der Regressionsanalyse ergründet werden.

Funktionales und stochastisches Modell

Jeder Ausgleichung geht eine Modellbildung voraus. Hierbei wird im Allgemeinen zwischen funktionalem Modell und stochastischem Modell unterschieden.

  • Ein funktionales Modell beschreibt hierbei die mathematischen Relationen zwischen den bekannten (konstanten), unbekannten und den beobachteten Parametern. Die Beobachtungen stellen dabei stochastische Größen (Zufallsvariable) dar, z. B. mit zufälligen Störungen überlagerte Messungen.
    • Als einfaches Beispiel sei ein Dreieck genannt, in dem überzählige Messungen zu geometrischen Widersprüchen führen (z. B. Winkelsumme ungleich 180°). Das funktionale Modell dazu sind die Formeln der Trigonometrie, die Störungen können z. B. kleine Zielabweichungen bei jeder Winkelmessung sein.
  • Das stochastische Modell beschreibt die Varianzen und Kovarianzen der beobachteten Parameter.

Das Ziel der Ausgleichung ist eine optimale Ableitung der unbekannten Werte (Parameter, z. B. die Koordinaten der Messpunkte) und der Maße für ihre Genauigkeit und Zuverlässigkeit im Sinne einer Zielfunktion. Für letztere wählt man meistens die minimale Summe der Abweichungsquadrate, doch können es für Sonderfälle z. B. auch minimale Absolutwerte oder andere Zielfunktionen sein.

Lösungsverfahren

Zur Lösung von Ausgleichungsproblemen steht ein umfangreicher Formelapparat zur Verfügung. Je nach funktionalem und stochastischem Modell werden verschiedene Rechenformeln notwendig.

Das Hauptunterscheidungsmerkmal ist hierbei,

  • ob sich alle Beobachtungen als Funktionen von Unbekannten und Konstanten darstellen lassen,
  • ob die Beobachtungen voneinander unabhängig oder korreliert sind, bzw. ob die Korrelationen mathematischer oder physikalischer Natur sind;
  • ob die Relationen nur Beobachtungen und Konstanten aufweisen, jedoch keinerlei Unbekannte enthalten,
  • ob es unter der Menge der Relationen auch solche gibt, die ausschließlich Beziehungen unter Konstanten und Unbekannten beschreiben und damit Restriktionen zwischen Unbekannten beschreiben.
  • Bei gemischtem Auftreten von sehr verschiedenen Messgrößen - etwa bei geometrischen und physikalischen Messungen - wurden die Methoden der Ausgleichsrechnung von einigen Mathematikern und Geodäten um 1970 zur sogenannten Kollokation erweitert. Sie wird unter anderem für die Geoidbestimmung verwendet, siehe H. Moritz, H. Sünkel und C.C. Tscherning.

Siehe auch

Literatur

  • W. Niemeier: Ausgleichungsrechnung. de Gruyter, Berlin - New York 2002, ISBN 3-11-014080-2.
  • H. Wolf: Ausgleichungsrechnung I und II : Formeln zur praktischen Anwendung. Bonn 1994 (2. Auflage)
  • Mathematische Exkurse: Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen
  • Jäger, R.; Müller, T.; Saler, H. und R. Schwäble: Klassische und robuste Ausgleichungsverfahren - Ein Leitfaden für Ausbildung und Praxis von Geodäten und Geoinformatikern. Wichmann-Verlag, Heidelberg 2005, ISBN 3-87907-370-8.

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