Ausmultiplizieren

Das Ausmultiplizieren ist eine mathematische Methode zur Umformung von Termen, mit der sich ein Produkt in eine Summe oder Differenz verwandeln lässt. Grundlage für solche Umformungen ist das Distributivgesetz.

Im einfachsten Fall ist einer der Faktoren ein einfacher Term, der andere eine Summe oder Differenz, die in einer Klammer steht. Dann ist der einfache Term mit jedem Glied der Summe oder Differenz zu multiplizieren.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

5\cdot (4 + 6) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot 6 = 20 + 30
3a^2b \cdot (4a - 5b) = 3a^2b \cdot 4a - 3a^2b \cdot 5b = 12a^3b - 15a^2b^2

Ein komplizierterer Fall liegt vor, wenn eine Summe (in einer Klammer) mit einer anderen Summe (ebenfalls in einer Klammer) multipliziert werden soll. Hier ist jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer zu multiplizieren. Entsprechendes gilt für Differenzen in den Klammern.

(2a + 3b) \cdot (4a - 5c) = 2a \cdot 4a - 2a \cdot 5c + 3b \cdot 4a - 3b \cdot 5c
= 8a^2 - 10ac + 12ab - 15bc

Auch die Richtigkeit der binomischen Formeln lässt sich durch Ausmultiplizieren überprüfen.

(a+b)\cdot (a-b)= a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2-b^2

Herleitung

Die Vorgehensweise erklärt sich durch die Definition der Multiplikation als wiederholte Addition.

 n \cdot(a + b) = \underbrace{(a+b)+(a+b)+\cdots+(a+b)}_{\rm n-mal} = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{\rm n-mal} + \underbrace{b + b + \cdots + b}_{\rm n-mal} = n \cdot a + n \cdot b

Einsetzen von (c + d) für n ergibt:

 (a + b) \cdot (c + d) = a \cdot (c + d) + b \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d

Allgemein

Allgemein lässt sich das Ausmultiplizieren zweier Klammern wie folgt ausdrücken:

 (a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n) \cdot (b_1 + b_2 + \ldots + b_{m-1} + b_m) = \sum_{k=1}^n~\sum_{l=1}^m~a_kb_l

Siehe auch


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