Aussagenverknüpfung

In der (formalen) Logik bezeichnet man eine Aussage V, die mit Hilfe von Formulierungen wie „und“, „oder“, „wenn–dann“ und „es ist nicht der Fall, dass“ aus anderen Aussagen zusammengesetzt ist, als komplexe Aussage, zusammengesetzte Aussage oder als Aussagenverknüpfung (Verknüpfung von Aussagen, logische Verknüpfung). Die Formulierungen, mit deren Hilfe Aussagen zu komplexen Aussagen verbunden werden, werden als Junktoren, Konnektive, Verknüpfungszeichen oder ebenfalls als Aussagenverknüpfung beziehungsweise Logische Verknüpfung bezeichnet. Eine Aussage, die nicht aus anderen Aussagen zusammengesetzt ist, wird atomare Aussage genannt.

Beispiel: Wenn Anna Urlaub hat, dann fährt sie ans Meer.

Im einfachsten Fall, insbesondere in der klassischen Aussagenlogik lässt sich die Bedeutung eines Junktors durch eine Wahrheitswertetabelle definieren. Für den Fall, dass zwei Aussagen, A und B, verknüpft werden, gibt es genau 16 verschiedene Möglichkeiten, eine Verknüpfung zu definieren. In der folgenden Tabelle sind alle 16 möglichen Verknüpfungen von V1 bis V16 aufgeführt:

A B V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16
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Die einzelnen Verknüpfungen haben alle besondere Namen, die in der weiteren Tabelle dargestellt sind:

Verknüpfung Formel Name
V1  A ~ \or ~ \overline{A} Tautologie
V2  A ~ \or ~ B (einschließende) Disjunktion, Adjunktion
V3  B ~\rightarrow ~ A Konversion
V4 A Identität von A
V5  A ~\rightarrow ~ B materiale Implikation, Konditional Subjunktion
V6 B Identität von B
V7  A ~\leftrightarrow ~ B Bikonditional, Bijunktion
V8  A ~ \and ~ B Konjunktion
V9  ~ \overline{A} ~ \or ~ \overline{B} Sheffer-Funktion
V10  A ~ \dot\or ~ B ausschließende Disjunktion, XOR
V11 \overline{B} Negation von B
V12  A ~ \and ~ \overline{B} Nur A
V13  \overline{A} Negation von A
V14  ~ \overline{A} ~ \and ~ B Nur B
V15  ~ \overline{A} ~ \and ~ \overline{B} Peirce-Funktion, NOR
V16  A ~ \and ~ \overline{A} Kontradiktion

Es ist möglich, einzelnen Verknüpfungen durch andere auszudrücken; zum Beispiel lässt sich die Konjunktion A \and B durch Disjunktion und Negation als \neg (\neg A \or \neg B) ausdrücken. Wenn eine Menge von Verknüpfungen in der Lage ist, alle anderen Verknüpfungen auszudrücken, dann heißt diese Menge funktional vollständig. Tatsächlich ist es möglich ist, alle Verknüpfungen allein mit Hilfe einer einzigen Verknüpfung darzustellen, und zwar mit der Verknüpfung V9 (Shefferfunktion, NAND), aber auch mit der Verknüpfung V15 (Peirce-Funktion, NOR).


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