Repellor

Repellor

Attraktor ist ein Fachbegriff aus Mathematik und Physik. Recht selten lässt sich neuerdings auch eine Verwendung in der deutschen Alltagssprache nachweisen. Dann bezeichnet das Wort eine Person, einen Gegenstand oder einen Umstand, der anziehend wirkt bzw. auf den etwas oder jemand zustrebt.

Fachterminus

Ein Attraktor ist eine unter der Zeitentwicklung eines dynamischen Systems invariante (d. h. sich zeitlich nicht ändernde) oder sich dieser asymptotisch nähernde Untermenge eines Phasenraums, die unter der Dynamik dieses Systems nicht mehr verlassen wird. Das unter negativer Zeitentwicklung dieselben Eigenschaften aufweisende Objekt wird als Repellor bezeichnet.

Die Menge aller Punkte des Phasenraums, die unter der Dynamik demselben Attraktor zustreben, heißt Attraktions- oder Einzugsgebiet dieses Attraktors.

Bekannte Beispiele sind Lorenz-Attraktor, Rössler-Attraktor und die Nullstellen einer differenzierbaren Funktion, welche Attraktoren des zugehörigen Newton-Verfahrens sind.

Dynamische Systeme werden oft als mathematische Modelle physikalischer oder anderer Vorgänge der realen Welt aufgestellt. Beispiele sind das Strömungsverhalten von Flüssigkeiten und Gasen, Bewegungen von Himmelskörpern unter gegenseitiger Beeinflussung durch die Gravitation, Populationsgrößen von Lebewesen unter Berücksichtigung der Räuber-Beute-Beziehung oder die Entwicklung wirtschaftlicher Kenngrößen unter Einfluss der Marktgesetze. Dynamische Systeme werden definiert durch die Beschreibung der Zustandsänderung in Abhängigkeit von der Zeit t. Für die mathematische Definition wird das reale System oft in stark vereinfachter Form betrachtet. Die Ursache dafür, dass sich hier das Langzeitverhalten des dynamischen Systems durch den globalen Attraktor beschreiben lässt, ist bei physikalischen und technischen Systemen oft Dissipation, insbesondere Reibung.

Man unterscheidet zwischen diskreten und kontinuierlichen dynamischen Systemen, je nachdem, ob die Zustandsänderung in festen zeitlichen Schritten (t \in \mathbb{N}) oder als kontinuierlicher Vorgang (t \in \mathbb{R}) definiert ist. Der Zustand wird durch beliebig viele Zustandsgrößen dargestellt, diese bilden die Dimensionen des Phasenraums. Jeder Zustand ist damit ein Punkt im Phasenraum, diskrete Systeme bilden Mengen von isolierten Punkten, kontinuierliche Systeme werden durch Linien (Trajektorien) repräsentiert.

Ein gemischtes System aus kontinuierlichen und diskreten Teilsystemen – mit dann kontinuierlich-diskreter Dynamik – wird auch als hybrides dynamisches System bezeichnet. Beispiele solcher strukturvariabler Dynamiken finden sich in der Verfahrenstechnik (bspw. Dosiervorlagesysteme). Die mathematische Beschreibung erfolgt durch hybride Modelle bspw. durch schaltende Differentialgleichungen. Die Trajektorien im Phasenraum sind i.allg. nicht stetig (es zeigen sich „Knicke“ und Sprungstellen bei den Trajektorien).

Bei der Untersuchung dynamischer Systeme interessiert man sich vor allem für das Verhalten für t \to \infty bei einem bestimmten Anfangszustand. Der Grenzwert in diesem Fall wird als Attraktor bezeichnet. Typische und häufige Beispiele von Attraktoren sind:

  • asymptotisch stabile Fixpunkte: Das System nähert sich immer stärker einem bestimmten Endzustand an, in dem die Dynamik zum Erliegen kommt, es entsteht ein statisches System. Typisches Beispiel eines solchen Systems ist ein gedämpftes Pendel, das sich dem Ruhezustand im tiefsten Punkt annähert.
  • (asymptotisch) stabile Grenzzyklen: Der Endzustand ist die Abfolge immer der gleichen Zustände, die periodisch durchlaufen werden (periodische Orbits). Ein Beispiel dafür ist die Simulation der Räuber-Beute-Beziehung, die für bestimmte Parameter der Rückkoppelung auf ein periodisches Ansteigen und Sinken der Populationsgrößen hinausläuft.

Für ein hybrides dynamisches System mit chaotischer Dynamik konnte im \mathbb{R}^n die Oberfläche eines n-Simplex als Attraktor identifiziert werden. [1]

Diese Beispiele sind Attraktoren, die im Phasenraum eine ganzzahlige Dimension besitzen. Die Existenz von Attraktoren mit komplizierterer Struktur war zwar schon länger bekannt, man betrachtete sie aber zunächst als instabile Sonderfälle, deren Auftreten nur bei bestimmter Wahl des Ausgangszustands und der Systemparameter beobachtet wird. Dies änderte sich mit der Definition eines neuen, speziellen Typs von Attraktor:

  • Seltsamer Attraktor: In seinem Endzustand zeigt das System ein quasiperiodisches Verhalten. Der seltsame Attraktor lässt sich nicht in einer geschlossenen geometrischen Form beschreiben und besitzt keine ganzzahlige Dimension. Attraktoren nichtlinearer dynamischer Systeme weisen dann eine fraktale Struktur auf. Wichtiges Merkmal ist das chaotische Verhalten, d. h. jede noch so geringe Änderung des Anfangszustands führt im weiteren Verlauf zu signifikanten Zustandsänderungen. Prominentestes Beispiel ist der Lorenz-Attraktor, der bei der Modellierung von Luftströmungen in der Atmosphäre entdeckt wurde.

Quellen

  1. Schürmann und Hoffmann 1995

Literatur

  • G. Jetschke: Mathematik der Selbstorganisation. Deutsch (Harri), 1989
  • T. Schürmann und I. Hoffmann: The entropy of strange billiards inside n-simplexes. In: J. Phys. Band A28, 1995, S. 5033ff. PDF-Dokument

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • repellor — noun A repelling set having a dense orbit …   Wiktionary

  • Mary Marvel Comics 1 — Mary Marvel #1 was the first issue of the comic series Mary Marvel. It was first published in January 1946. The cover shows Mary Marvel, and Captain Marvel saying Hope you like her. It featured the first appearance of Georgia Sivana and features… …   Wikipedia

  • Tractor beam — A tractor beam is a hypothetical device with the ability to attract one object to another from a distance. Tractor beams are frequently used in science fiction. Less commonly, a similar beam that repels is called a pressor beam or repulsor beam …   Wikipedia

  • Repulseur — Répulseur Demande de traduction Repellor → …   Wikipédia en Français

  • Répulseur — Demande de traduction Repellor → …   Wikipédia en Français

  • Attractor — For other uses, see Attractor (disambiguation). Visual representation of a strange attractor An attractor is a set towards which a dynamical system evolves over time. That is, points that get close enough to the attractor remain close even if… …   Wikipedia

  • Bernoulli scheme — In mathematics, the Bernoulli scheme or Bernoulli shift is a generalization of the Bernoulli process to more than two possible outcomes.[1][2] Bernoulli schemes are important in the study of dynamical systems, as most such systems (such as Axiom… …   Wikipedia

  • Saddle-node bifurcation — In the mathematical area of bifurcation theory a saddle node bifurcation or tangential bifurcation is a local bifurcation in which two fixed points (or equilibria) of a dynamical system collide and annihilate each other. The term saddle node… …   Wikipedia

  • Phase portrait — A phase portrait is a geometric representation of the trajectories of a dynamical system in the phase plane. Each set of initial conditions is representated by a different curve, or point.Phase portraits are an invaluable tool in studying… …   Wikipedia

  • Stable manifold — In mathematics, and in particular the study of dynamical systems, the idea of stable and unstable sets or stable and unstable manifolds give a formal mathematical definition to the general notions embodied in the idea of an attractor or repellor …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”