Repunit

Repunit

Der Begriff Repunit ist ein Kunstwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Der Begriff Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt.[1] Im Deutschen wird auch der Begriff Einserkolonne oder Einserschlange verwendet.

Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Mathematisch sind Repunits (im Dezimalsystem) definiert als

 R_n={10^n-1\over9} ,\ \mbox{mit }n \in \N^{\operatorname +}

Die Zahl Rn besteht also aus n Einsen. Die Folge der Repunits beginnt 1, 11, 111, 1111, ... (Folge A002275 in OEIS).

Repunit-Primzahlen

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte im 19. Jahrhundert sogar ernsthafte Mathematiker. So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch Dase.

Es ist einfach zu zeigen, dass Rn durch Ra teilbar ist, falls n durch a teilbar ist. Zum Beispiel ist R9 teilbar durch R3: 111111111 = 111 · 1001001. Deshalb muss notwendig n eine Primzahl sein, damit Rn eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist R3 keine Primzahl, da R3 = 111 = 3 · 37.

Außer für dieses Beispiel von R3 kann p nur Teiler von Rn sein (für eine Primzahl n), wenn p = 2kn + 1 für ein bestimmtes k.

Repunit-Primzahlen sind selten. Rn ist eine Primzahl für n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (Folge A004023 in OEIS). R49081 und R86453 sind wahrscheinlich Primzahlen. Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.[2]

Verallgemeinerte Repunits

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen Basis b definiert:

 R_n^{(b)} = {b^n-1\over b-1} \qquad\mbox{mit } n \ge 1

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die Mersenne-Zahlen Mn = 2n − 1.

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen, also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Es ist einfach zu beweisen,[3] dass für jedes n, das nicht glatt durch 2 oder p teilbar ist, eine Repunit zur Basis 2p existiert, die ein Vielfaches von n ist.

Einzelnachweise

  1. Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. The queen of mathematics entertains. New York: Dover, 21966, Kap. XI, S. 83ff.
  2. http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit
  3. http://www.caliban.org.uk/pmwiki/pmwiki.php?n=Blogs.RichardRothwell.RepUnits

Weblink


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Repunit — Saltar a navegación, búsqueda Los repunits se definen matemáticamente como Así, el número Rn consta de n ejemplares del dígito 1. La secuencia de repunits comienza 1, 11,  111, 1111,... (secuencia A002275 en OEIS). Contenido 1 …   Wikipedia Español

  • Repunit — Répunit Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un nombre entier dont l écriture ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est une contraction de l expression anglaise repeated unit (répétition de l unité), utilisée pour la… …   Wikipédia en Français

  • repunit — /repˈū nit/ (mathematics) noun A number consisting of two or more identical integers, eg 22, 333 ORIGIN: repeating unit …   Useful english dictionary

  • Repunit — In recreational mathematics, a repunit is a number like 11, 111, or 1111 that contains only the digit 1. The term stands for repeated unit and was coined in 1966 by A.H. Beiler. A repunit prime is a repunit that is also a prime… …   Wikipedia

  • Répunit — Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un nombre entier dont l écriture ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est une contraction de l expression anglaise repeated unit (répétition de l unité), utilisée pour la première… …   Wikipédia en Français

  • REPUNIT — reporting unit …   Military dictionary

  • repunit — noun A number consisting entirely of the digit 1. 11, 111, and 1,111 are repunits …   Wiktionary

  • 11111 Repunit — Infobox Planet minorplanet = yes width = 25em bgcolour = #FFFFC0 apsis = name = Repunit symbol = caption = discovery = yes discovery ref = discoverer = T. Kobayashi discovery site = Oizumi discovered = November 16, 1995 designations = yes mp name …   Wikipedia

  • Rep-unit — Répunit Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un nombre entier dont l écriture ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est une contraction de l expression anglaise repeated unit (répétition de l unité), utilisée pour la… …   Wikipédia en Français

  • Répunits — Répunit Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit est un nombre entier dont l écriture ne comporte que des chiffres 1. Ce terme est une contraction de l expression anglaise repeated unit (répétition de l unité), utilisée pour la… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”