Riemann-Zerlegung

Eine Riemann-Zerlegung ist ein Paar einer Familie von Stützstellen ξ₀ bis $\xi _{n(\mathcal{R})}$ und Zwischenstellen α₁ bis $\alpha _{n(\mathcal{R})}$,

$\mathcal{R} =((\xi _{j})^{n(\mathcal{R})}_{j=0};(\alpha _{j})^{n(\mathcal{R})}_{j=1})$

die ein Intervall [a,b], folgendermaßen zerlegt:

$a=\xi _0 <\xi_1 < \ldots < \xi _{n(\mathcal{R})} =b$ und $\alpha _j \in [\xi _{j-1} , \xi _j], j=1, \ldots, n(\mathcal{R})$

D.h. die Randpunkte sind gleichzeitig die größte und die kleinste Stütztstelle, und die Zwischenstellen liegen beliebig zwischen den Stützstellen.
Die Feinheit einer Riemann-Zerlegung ist dabei definiert als die maximale Differenz zweier Stützstellen:

$|\mathcal{R}|=\max \{ (\xi _{j} -\xi _{j-1} ): j=1,\ldots, n(\mathcal R) \}$

Die Menge aller Riemann-Zerlegungen eines Intervalls wird durch die Relation$\preceq$ zur Gerichteten Menge:

$\mathcal{R} _1 \preceq \mathcal{R} _2 :\Leftrightarrow |\mathcal{R} _1| \leq |\mathcal{R} _2|$

Über dieser Gerichteten Menge lassen sich jetzt Netze definieren, zum Beispiel ist das Riemann-Integral über solch ein Netz definiert.

Siehe auch

Variation (Mathematik)