Avanciertes Potential

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Das retardierte Potential (deutsch: verzögertes Potential) ist die Bezeichnung für die mathematische Form des Potentials in der elektromagnetischen Feldtheorie oder anderen Feldtheorien, in denen sich Änderungen des Feldes mit endlicher Geschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) und nicht instantan ausbreiten. Es tritt bei der Untersuchung von zeitabhängigen Problemen wie der Abstrahlung elektromagnetischer Wellen auf. Im Bereich der Elektrostatik und Magnetostatik und der Newtonschen Gravitationstheorie werden dagegen Zeitabhängigkeiten vernachlässigt.

Mathematisch ist das Potential \,u (x,t) die Lösung der (aus den Maxwellgleichungen folgenden) inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

\frac 1 {c^2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}- \sum_{i=1}^{3} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) =\frac 1 {c^2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}- \Delta u  = v(t, x_1, x_2, x_3)\,.

wobei auf der rechten Seite ein Quellenterm \,v(x,t) steht. Die Lösung

u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf x)=
\frac{1}{4\pi}\int\!\mathrm d^3 y \,
\frac{v\left(t - \frac{|\mathbf x - \mathbf y|}{c}, \mathbf y\right)}{|\mathbf x - \mathbf y|}

heißt retardiertes Potential. Sie hängt am Ort \mathbf x zur Zeit t nur von der Inhomogenität v auf dem Rückwärtslichtkegel von \mathbf x ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet (daher der Name) mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Lösung

u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf x)=
\frac{1}{4\pi}\int\!\mathrm d^3 y \,
\frac{v\left(t + \frac{|\mathbf x - \mathbf y|}{c}, \mathbf y\right)}{|\mathbf x - \mathbf y|}

heißt entsprechend avanciertes Potential. Es tritt bei der Untersuchung des Empfangs elektromagnetischer Wellen auf.

Literatur

Weblinks


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