Satz von Stone

Eine stark stetige Gruppe ist eine Familie $(T(t))_{t\in\R}$ von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum X in sich und ist ein Spezialfall einer stark stetigen Halbgruppe. Stark stetige Gruppen werden bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen angewandt, die einen reversiblen Vorgang beschreiben.

Definition

Seien X ein Banachraum und $T=(T(t))_{t\in\R}$ eine Familie beschränkter linearer Operatoren $T(t):X\rightarrow X$ für $t\in\R$. Gilt

• T(0) = I,
• T(s + t) = T(s)T(t) für alle $s,t\in\R$ und
• $\lim_{t\rightarrow 0}T(t)x=x$ für alle $x\in X$,

wird diese Familie stark stetige Gruppe genannt.

Infinitesimaler Erzeuger

Der (infinitesimale) Erzeuger (A,D(A)) ist gegeben durch

$D(A):=\left\{x\in X: \lim_{h\rightarrow 0}\frac{T(h)x-x}h\ \mathrm{existiert}\right\}$

und

$Ax:=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{T(h)x-x}h$ für $x\in D(A)$.

Folgerungen

• Erzeugen (A,D(A)) eine stark stetige Halbgruppe $(T_+(t))_{t\geq0}$ mit $\|T_+(t)\|\leq Me^{\omega t}$ und ( − A,D(A)) eine stark stetige Halbgruppe $(T_+(t))_{t\geq0}$ mit $\|T_-(t)\|\leq Me^{\omega t}$ für ein $\omega\in\R$, M > 0 und alle t > 0, so ist (A,D(A)) der Erzeuger einer stark stetigen Gruppe $(T(t))_{t\geq 0}$ mit T(t) = T ₊ (t) für $t\geq 0$, T(t) = T ₋ ( − t) für t < 0 und $\|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}$ für $t\in\R$.
• Sei (A,D(A)) ein dicht definierter, abgeschlossener Operator und es existiere $\omega\in\R$ und M > 0, so dass $(\omega,\infty)\subset\rho(A)$ und $\|((|\lambda|-\omega)R(\lambda,A))^n\|\leq M$ für alle λ > ω und alle $n\in\N$. Dann erzeugt (A,D(A)) eine stark stetige Gruppe $(T(t))_{t\geq 0}$ mit $\|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}$ für alle $t\in\R$. Hierbei stehen R(λ,A) für die Resolvente und ρ(A) für die Resolventenmenge von A.

Satz von Stone

Marshall Harvey Stone veröffentlichte 1932 in den Annals of Mathematics folgenden Satz: Seien X ein Hilbertraum und T eine stark stetige Gruppe, wobei T(t) für alle $t\in\R$ unitär ist. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator A, so dass iA der Erzeuger von T ist. Umgekehrt erzeugt iA für jeden selbstadjungierten Operator A eine stark stetige Gruppe aus unitären Operatoren.

Literatur

• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York, 2000. ISBN 0-387-98463-1.
• Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. 2. Auflage. Springer-Verlag 1995, ISBN 354058661X.
• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.