Satz von Vieta

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta oder auch Wurzelsatz von Vieta (nach dem latinisierten Namen von François Viète) gehört in das Teilgebiet der Algebra und macht eine Aussage über den Zusammenhang der Koeffizienten p und q der quadratischen Gleichung

x2 + px + q = 0

und deren Lösungen (Wurzeln) x1 und x2. Er besagt:

 p = -(x_1 +x_2) \,
 q = x_1 \cdot x_2

Dies ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

 x^2 + px + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 - (x_1+x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Für den Satz gibt es drei wichtige Anwendungen:

  • 1. Es lassen sich damit quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Beispielsweise lautet eine quadratische Gleichung zu den Lösungen 2 und 3: x2 − 5x + 6 = 0.
  • 2. Es lassen sich Gleichungssysteme der Form
\begin{matrix}
 x+y &= a\\
 x\cdot y &=b
 \end{matrix}

lösen. Z.B. sind die Lösungen x und y des Systems  x+y = 5, x\cdot y =6 die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung z2 − 5z + 6 = 0. Nach der Lösungsformel ergibt sich x=2, y=3 oder x=3, y=2.

  • 3. Der Satz kann helfen die Lösungen bei gegebenen Koeffizienten zu bestimmen (Probiermethode): Ist die quadratische Gleichung
x2 − 7x + 10 = 0

gegeben, dann muss für die Nullstellen x1, x2 gelten:

 \begin{matrix}
 -(x_1 + x_2) &= -7\\
 x_1 \cdot x_2 &= 10
 \end{matrix}

Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen suchen, müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein, die zu 7 aufaddiert werden können. Mit etwas Probieren findet man die Nullstellen 2 und 5, da 2+5=7 und 2\cdot5=10.

Verallgemeinerung

Der Satz von Vieta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Jedes (normierte) Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von n Linearfaktoren darstellen:

P(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots{}+a_2x^2+a_1x^1+a_0 = (x-x_1)(x-x_2)\dots{}(x-x_n).

x1, x2, …, xn sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten a0, a1,… reell sind, können die Nullstellen komplex sein. Nicht alle xi müssen verschieden sein.

Nun ergibt sich der Satz von Vieta durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:

a_{n-j} = (-1)^j\sigma_j,\quad j=0,\dots,n\quad

wobei

\sigma_k=\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}X_{i_1}\cdots X_{i_k}

die sogenannten Elementarsymmetrischen Polynome in x1 bis xn sind. Für ein Polynom vierten Grades

 P(x) = x^4 + a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0
 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)

ergibt sich:


\begin{matrix}
 -a_3 &=& \sigma_1 &=& x_1+x_2+x_3+x_4\\
 a_2 &=& \sigma_2 &=& x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\
 -a_1 &=& \sigma_3 &=& x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4\\
 a_0 &=& \sigma_4 &=& x_1x_2x_3x_4\\
\end{matrix}

Eine wichtige Anwendung des Satzes für n=2 und n=3 in der Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung und der Gleichung 4. Grades auf eine kubische Gleichung, der sog. kubischen Resolvente.

Allgemein gilt der Wurzelsatz von Vieta auch für Polynome mit Koeffizienten in anderen Körpern, solange diese nur algebraisch abgeschlossen sind.

Literatur

  • Walter Gellert: Lexikon der Mathematik. Leipzig: Bibliographisches Institut, 1990, S.578, 200.

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