Separierbarkeit

Das Wort Separierbarkeit bezeichnet in der Bildverarbeitung die Eigenschaft, dass sich die Impulsantwort eines zweidimensionalen Filters durch die Multiplikation zweier eindimensionaler Impulsantworten darstellen lässt. Somit kann die zweidimensionale Faltung auf zwei eindimensionale reduziert werden, indem der zweite auf das Zwischenergebnis des erstens angewendet wird. In der Bildverarbeitung wird der Ursprüngliche 2D Filter in einen x- und y- Kern zerlegt, die dann hintereinander auf das Ursprungsbild angewandt werden. Eine Separierung einer 3 × 3 Matrix in zwei 1D Vektoren muss folgendermaßen aussehen:

$\alpha \begin{bmatrix} N' \\ Z' \\ S' \end{bmatrix} * \alpha ' \begin{bmatrix} W & Z & O \end{bmatrix} = \alpha \alpha ' \begin{bmatrix} N'W & N'Z & N'O \\ Z'W & Z'Z & Z'O \\ S'W & S'Z & S'O \end{bmatrix}$

Es ist aber auch möglich, andere Eingabe- und Ausgabegrößen zu verwenden. So kann ein 5 × 5 Filter in zwei 3 × 3 Matrizen separiert werden.

Das Ziel der Separierung ist eine Einsparung von Rechenzeit. Die Anwendung von einem 2D N × N Filter benötigt N² Lesezugriffe und Multiplikationen, sowie N² − 1 Additionen. Durch die Separierung kann der Rechenaufwand auf 2N Lesezugriffe und Multiplikationen und 2(N − 1) Additionen reduziert werden.

Beispiele

1. Ein zweidimensionaler Glättungsfilter wird in diesem Beispiel separiert:

$\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} * \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2. Der Gauß-Filter (Weichzeichner)

$\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} * \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

3. Der Sobel-Operator (Kantendetektion)

$\mathbf{G_x} = \begin{bmatrix} \quad~ & \quad~ & \quad~ \\[-2.5ex] 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * A = \begin{bmatrix} +1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} * A$

Siehe auch

Die Lineare Separierbarkeit (Klassifizierbarkeit) bezieht sich auf mathematische Relationen und sollte nicht mit Separierbarkeit in der Bildverarbeitung verwechselt werden.