Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Inhaltsverzeichnis

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei \ (G, \cdot) eine Gruppe und \circ: G \times M \rightarrow M eine Operation von G auf M. Dann ist für jedes x\in M die Abbildung

G/G_x \rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_x \mapsto g \circ x

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

  • G \circ x := \{m \in M\ |\ \exists g \in G mit m = g \circ x\} \subseteq M die Bahn von x,
  • G_x := \{g \in G\ |\ g \circ x = x \} \leq G die Stabilisatoruntergruppe von x und
  • G/G_x := \{A \in \mathcal{P}(G)\ |\ \exists g \in G mit \ A = g\cdot G_x\} \subseteq \mathcal{P}(G) die Menge der (Links-)Nebenklassen von Gx in G.

Beweis

Siehe: Wikibooks-logo.svg Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall |G \circ x| < \infty ist (G:G_x) = |G \circ x|. Dabei bezeichnet \ (G:G_x) := |G/G_x| den Index von Gx in G. Für endliche Gruppen G gilt daher die Bahnformel

\ |G|=|G \circ x|\cdot|G_x|.

Beispiel

Jede Gruppe G operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation g \circ x := gxg^{-1}. Die Bahn G \circ x := \{gxg^{-1}\ |\ g \in G\} eines Elements x \in G bezeichnet man als Konjugationsklasse von x. Der Stabilisator G_x := \{g \in G\ |\ gxg^{-1} = x\} = \{g \in G\ |\ gx = xg\} heißt Zentralisator von x und wird mit ZG(x) bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen G

|G| = |G \circ x| \cdot |Z_G(x)|.

Siehe auch

Literatur

Weblinks


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