Baire-Kategorie

Bei den Baire-Kategorien handelt es sich um die Klassifikation von Teilmengen der Reellen Zahlen, bzw. eines beliebigen metrischen Raumes. Folgende Frage war Ausgangspunkt der Definition: Eine Folge (f_n)_{n \in \mathbb{N}} reellwertiger, auf dem Intervall [0,1] stetiger Funktionen konvergiert punktweise gegen die Funktion f(x). Ist diese Menge der x \in [0,1] in denen f(x) nicht stetig ist, „groß“ oder „klein“? Die Antwort nach Baire lautet: Sie ist mager.

Definitionen

Eine Teilmenge \mathcal{A} \subset \mathcal{M} eines metrischen Raumes heißt nirgends dicht in \mathcal{M}, wenn der Abschluss von \mathcal{A} keine offene Kugel von \mathcal{M} enthält.

Eine Teilmenge \mathcal{A} \subset \mathcal{M} heißt von 1. Kategorie oder mager, falls \mathcal{A} eine abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen ist.

Teilmengen \mathcal{A} \subset \mathcal{M}, die nicht von 1. Kategorie sind, heißen von 2. Kategorie.

Das Komplement einer Menge von 1. Kategorie heißt residuell.

Achtung: Diese Definition hat nichts mit den Kategorien zu tun, die in der Kategorientheorie verwendet werden.

Siehe auch


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