Thaleskreis

Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie und ein Spezialfall des Umfangswinkelsatzes. Der erste Beweis wird dem antiken griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben. In empirischer Form war der Satz bereits den Ägyptern und den Babyloniern bekannt.

Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung

Halbkreis mit rechtwinkligen Dreiecken

Kurzformulierung: Alle Winkel am Halbkreisbogen sind rechte Winkel.

Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck.

Oder: Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.

Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse, also der (längsten) Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

Beweise

• Zum Beweis werden zwei ebenfalls von Thales bewiesene Sätze benötigt:

1. Die beiden Winkel an der Grundseite (Basiswinkel) eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß.
2. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°.

Halbkreis mit Dreieck und Mittelpunkt M

ABC sei ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit [AB] als Kreisdurchmesser und dem Radius r. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke [AB] auch der Kreismittelpunkt. Die Streckenlängen $\overline{AM}$, $\overline{BM}$ und $\overline{CM}$ sind also gleich dem Radius r.

Die Strecke [CM] teilt das Dreieck ABC in zwei Dreiecke AMC und BCM auf, die gleichschenklig sind. Die Basiswinkel dieser Dreiecke, also die Winkel an der Grundseite [AC] bzw. [BC], sind daher jeweils gleich (α und β in der Abbildung).

Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:

$\alpha + \beta + (\alpha+\beta) \, = \, 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta \, = \, 180^\circ$

Dividiert man diese Gleichung durch 2, so ergibt sich

$\alpha + \beta \, = \, 90^\circ$.

Damit ist gezeigt, dass der Winkel α + β mit Scheitel C ein rechter Winkel ist.

• Die Umkehrung des Satzes von Thales lässt sich zurückführen auf die Aussage, dass die Diagonalen eines Rechtecks gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.

• Einen weiteren Beweis findet man hier: Wikibooks: Beweisarchiv.

Verallgemeinerung

Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes (Umfangswinkelsatzes).

Anwendungen

Eine wichtige Anwendung des Thaleskreises ist die Konstruktion der beiden Tangenten an einen Kreis k durch einen außerhalb dieses Kreises gelegenen Punkt P:

Konstruktion der Kreistangenten

Da die obere durch P verlaufende Tangente den Kreis k genau im Punkt T berührt, muss das Dreieck OPT einen rechten Winkel im Punkt T haben, oder anders formuliert: Die Strecke [OT] muss senkrecht auf der Geraden TP stehen.

Die beiden Punkte O und P sind gegeben. Vom Punkt T wissen wir nur, dass er irgendwo auf der Kreislinie k liegen muss. Würde man nur diese Bedingung berücksichtigen, könnte man unendlich viele Dreiecke OPT einzeichnen.

Um ein Dreieck OPT zu finden, das auch rechtwinklig ist, ermitteln wir durch Schnitt mit der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) den Mittelpunkt H der Strecke [OP], zeichnen einen Halbkreis (mit Mittelpunkt H) über der Strecke [OP] und machen uns das Prinzip des Thaleskreises zunutze: Alle Dreiecke mit der Grundseite [OP], deren dritter Eckpunkt auf dem Thaleskreis liegt, sind rechtwinklig. Dies gilt natürlich auch für das Dreieck OPT.

Der Berührpunkt T kann deshalb nur am Schnittpunkt des Kreises k mit dem hellgrauen Thaleskreis liegen. Durch Verbinden von P und T erhält man nun die gesuchte Tangente (in der Zeichnung rot).

Es existiert eine zweite, symmetrische Lösung in der unteren Hälfte des Kreises. Die Tangente T'P (ebenfalls rot gezeichnet) berührt den Kreis ebenfalls, und zwar im Punkt T'.

Eine weitere Anwendung ist die Quadratur des Rechtecks.

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.