Barnes'sche G-Funktion

Die Barnessche G-Funktion, typischerweise mit G(z) bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt. Sie steht in Beziehung zur Gammafunktion, der K-Funktion und der Konstanten von Glaisher-Kinkelin und ist nach dem Mathematiker Ernest William Barnes benannt.[1]

Formal ist die Barnessche G-Funktion in der Form eines Weierstraß-Produkts definiert als

G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right]

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte

Die Barnessche G-Funktion erfüllt die Differenzengleichung

\!\ G(z+1)=\Gamma(z)G(z)

mit der Normierung G(1) = 1. Die Differenzengleichung impliziert, dass G die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:

G(n)=\begin{cases} 0,&\mbox{falls }n=0,-1,-2,\ldots,\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!,&\mbox{falls }n=1,2,\ldots,\end{cases}

so dass

G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}

wo Γ(n) die Gammafunktion und K(n) die K-Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die G-Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung \frac{\mathrm d^3}{\mathrm dx^3}G(x)\geq 0 gestellt wird.[2]

Die Differenzengleichung der G-Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die G-Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:

 G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int\limits_0^z \pi z \cot \pi z \, \mathrm dz.

Multiplikationsformel

Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die G-Funktion eine Multiplikationsformel:[3]


G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right)

wobei K(n) eine Funktion ist, die durch

 K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot
n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\,
(Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.

gegeben ist. Hierbei ist \zeta^\prime die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und A die Konstante von Glaisher-Kinkelin.

Asymptotische Entwicklung

Die Funktion \log \,G(z+1 ) hat die folgende asymtotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:

 \log G(z+1)=\frac{1}{12} - \log A + \frac{z}{2}\log 2\pi +\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z -\frac{3z^2}{4}+
\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}} + O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).

Hierbei bezeichnet Bk die Bernoulli-Zahlen und A die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes[4] die Bernoulli-Zahl B2k als ( − 1)k + 1Bk geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für z in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

Weblink

Einzelnachweise

  1. E.W.Barnes: The theory of the G-function. In: Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. Band 31, 1900, Seiten 264-314.
  2. M. F. Vignéras: L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe modulaire SL(2,\mathbb{Z}). In: Astérisque Band 61, 1979, Seiten 235-249.
  3. I. Vardi: Determinants of Laplacians and multiple gamma functions. In: SIAM J. Math. Anal. Band 19, 1988, Seiten 493-507.
  4. E. T. Whittaker, G. N. Watson: A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0521091893.

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Spezielle Funktion — In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man gewisse Funktionen als spezielle Funktionen, weil sie sowohl in der Mathematik selbst als auch in ihren Anwendungen (z. B. in der mathematischen Physik) eine tragende Rolle… …   Deutsch Wikipedia

  • Höhere transzendente Funktionen — Das Gebiet der speziellen Funktionen beschäftigt sich mit gewissen Funktionen, die sowohl in der Mathematik selbst als auch in den angewandten Wissenschaften (z. B. mathematische Physik) häufig auftreten. Die meisten Funktionen von Interesse sind …   Deutsch Wikipedia

  • Spezielle Funktionen — Das Gebiet der speziellen Funktionen beschäftigt sich mit gewissen Funktionen, die sowohl in der Mathematik selbst als auch in den angewandten Wissenschaften (z. B. mathematische Physik) häufig auftreten. Die meisten Funktionen von Interesse sind …   Deutsch Wikipedia

  • Aristotelisch — Aristoteles Büste Aristoteles (griechisch Ἀριστoτέλης, * 384 v. Chr. in Stageira (Stagira) auf der Halbinsel Chalkidike; † 322 v. Chr. in Chalkis auf der Insel Euboia …   Deutsch Wikipedia

  • Der Philosoph — Aristoteles Büste Aristoteles (griechisch Ἀριστoτέλης, * 384 v. Chr. in Stageira (Stagira) auf der Halbinsel Chalkidike; † 322 v. Chr. in Chalkis auf der Insel Euboia …   Deutsch Wikipedia

  • Der Stagirit — Aristoteles Büste Aristoteles (griechisch Ἀριστoτέλης, * 384 v. Chr. in Stageira (Stagira) auf der Halbinsel Chalkidike; † 322 v. Chr. in Chalkis auf der Insel Euboia …   Deutsch Wikipedia

  • Poietische Wissenschaft (Aristoteles) — Aristoteles Büste Aristoteles (griechisch Ἀριστoτέλης, * 384 v. Chr. in Stageira (Stagira) auf der Halbinsel Chalkidike; † 322 v. Chr. in Chalkis auf der Insel Euboia …   Deutsch Wikipedia

  • Praktische Wissenschaft (Aristoteles) — Aristoteles Büste Aristoteles (griechisch Ἀριστoτέλης, * 384 v. Chr. in Stageira (Stagira) auf der Halbinsel Chalkidike; † 322 v. Chr. in Chalkis auf der Insel Euboia …   Deutsch Wikipedia

  • Stagirit — Aristoteles Büste Aristoteles (griechisch Ἀριστoτέλης, * 384 v. Chr. in Stageira (Stagira) auf der Halbinsel Chalkidike; † 322 v. Chr. in Chalkis auf der Insel Euboia …   Deutsch Wikipedia

  • Theoretische Wissenschaft (Aristoteles) — Aristoteles Büste Aristoteles (griechisch Ἀριστoτέλης, * 384 v. Chr. in Stageira (Stagira) auf der Halbinsel Chalkidike; † 322 v. Chr. in Chalkis auf der Insel Euboia …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”