Unbedingte Konvergenz

Unbedingte Konvergenz

Die unbedingte Konvergenz ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der ein bestimmten Konvergenzverhalten von Reihen beschreibt. Man spricht von unbedingter Konvergenz einer Reihe, wenn die Konvergenz unempfindlich gegenüber Umordnungen der Reihe ist. Im endlichdimensionalen ist dies äquivalent zur absoluten Konvergenz, im unendlichdimensionalen ist das nicht mehr der Fall.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei X ein Banachraum und I eine abzählbare Indexmenge. Seien x_i \in X für alle i \in I. Man sagt, eine Reihe \textstyle \sum_{i \in I} x_i konvergiert unbedingt gegen x \in X, falls für jede Aufzählung von I die Gleichung

\sum_{i=1}^\infty x_i = x

gilt. Dieser Begriff wird meistens in Banachräumen untersucht, kann aber auch in normierten, lokalkonvexen oder nur topologischen Vektorräumen formuliert werden.

Zusammenhang zur absoluten Konvergenz

Satz von Riemann

Sei X := \R^n der zugrundeliegende Banachraum und I eine abzählbare Indexmenge. Dann besagt ein Satz von Riemann, dass die Reihe \textstyle \sum_{i \in I} x_i genau dann unbedingt konvergiert, wenn sie absolut konvergiert.

Satz von Dvoretzky-Rogers

Hauptartikel: Satz von Dvoretzky-Rogers

Im unendlichdimensionalen Raum sind die unbedingte Konvergenz und die absolute Konvergenz nicht mehr äquivalent. Dies besagt der Satz von Dvoretzky-Rogers, der nach Aryeh Dvoretzky und Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Präzise besagt er, dass in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine unbedingt konvergente Reihe existiert, die nicht absolut konvergiert. Die Umkehrung, nach der jede absolut konvergente Reihe unbedingt konvergiert, gilt auch im unendlichdimensionalen Fall.

Siehe auch

Quellen

Weblinks


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