Basis (Modul)

Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes.

Definition

Ein System von Elementen \{x_i\mid i\in I\} eines Moduls M über einem Ring R mit Einselement definiert eine Abbildung

\xi\colon R^{(I)}\longrightarrow M

von der direkten Summe von Kopien von R nach M, die von den Abbildungen

R\to M,\quad 1\mapsto x_i

induziert wird.

Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Eigenschaften

Die lineare Unabhängigkeit von \{x_i\mid i\in I\} ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lässt:

\sum a_ix_i=0\quad\Longrightarrow\quad a_i=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ i\in I.

Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:

  • Eine linear unabhängige Teilmenge lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen.
  • Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis.
  • Ein minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis.

Als Beispiele betrachte man den Z-Modul Z: Das System {2} ist maximal linear unabhängig, das System {2,3} ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis.

Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist. Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat.

Beispiel

Es sei M=\mathbb Z die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist

  • {2} eine maximale linear unabhängige Teilmenge.
  • {2,3} ein minimales Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig.

Die einzigen Basen von M sind {1} und { − 1}.


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Basis — steht für: Basis (Architektur), den untersten Bauteil einer Säule oder das Podest einer Statue Basis (Stereofotografie), den Abstand zweier zum Ziel ausgerichteter Kameras Kristallstruktur#Basis, die Grundstruktur eines Kristalles Basis (Band)… …   Deutsch Wikipedia

  • Modul (Mathematik) — Ein Modul [ˈmoːdul] (maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːduln]) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt. Inhaltsverzeichnis 1 Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement 1.1 A …   Deutsch Wikipedia

  • Basis (Vektorraum) — In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten… …   Deutsch Wikipedia

  • Modul — Baustein; Detail; Teil; Element; Gegenstand; Glied; Komponente; Einzelheit; Stück; Punkt; Bestandteil; Bauteil; …   Universal-Lexikon

  • Modul — Mo|dul1 〈m.; Gen.: s, Pl.: n〉 1. 〈Arch.〉 Maßeinheit, die in gewissen einfachen Beziehungen zwischen den verschiedenen Bauteilen wiederkehrt 2. 〈antike Arch.〉 unterer Halbmesser einer Säule als Maßeinheit zur Berechnung von Säulen u.… …   Lexikalische Deutsches Wörterbuch

  • Hamelsche Basis — In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten… …   Deutsch Wikipedia

  • Freier Modul — Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe Vektorraum oder freie abelsche Gruppe. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anmerkungen 2.1 Erste Beispiele und Gegenbeispiele …   Deutsch Wikipedia

  • Halbeinfacher Modul — Als halbeinfach bezeichnet man in der Mathematik bestimmte Strukturen, die auf vergleichsweise leicht verständliche Weise aus „Grundbausteinen“ zusammengesetzt sind. Der Begriff wird im mathematischen Gebiet der Algebra in unterschiedlichen… …   Deutsch Wikipedia

  • Perl-Modul — Mechanismus der Einbindung und Verwendung von Perl Modulen Ein Perl Modul ist eine separate Komponente eines Computerprogramms, das in Perl geschrieben wurde. Ein Modul besitzt seinen Quellcode in einer Moduldatei der Endung .pm, die wiederum ein …   Deutsch Wikipedia

  • Basal — Basis steht für: Grundlage und Fundament Grundlagenwissen, siehe Grundlagenwissenschaft Personengruppe innerhalb politischer Verbände in Abgrenzung von den Funktionsträgern Militärbasis, eine militärisch genutzte Einrichtung Basislager als… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”