Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz gibt an, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel gleich groß sind. Man kann den Basiswinkelsatz auch mithilfe eines Kongruenzsatzes beweisen.

ABC sei ein gleichschenkliges Dreieck mit |AC|=|BC|.

  • Wir zerlegen das Dreieck ABC durch die Höhe h index c in zwei Teildreiecke ADC und DBC.
  • Wir vermuten: Dreieck ADC ist kongruent zu Dreieck DBC.
  • Wir versuchen, in den beiden Dreiecken ADC und DBC jeweils drei entsprechende Stücke zu finden, die paarweise gleich groß sind.

Dann können wir einen Kongruenzsatz anwenden.

Es gilt:

  1. |AC| = |BC|, da [Strecke AC] und [Strecke BC] die beiden Schenkel des Dreiecks ABC sind.
  2. Winkel ADC = Winkel CDB (= 90°), da nach Konstruktionen die Gerade CD senkrecht zur Geraden AB ist.
  3. |CD| = |CD| (die Seite [Strecke CD] gehört zu beiden Teildreiecken).

Also stimmen die beiden Teildreiecke paarweise in zwei Seitenlängen und der Größe des Winkels überein, der der längeren Seite gegenüber. Nach dem Kongruenzsatz SSW sind dann die Dreiecke ADC und DBC kongruent zueinander. Dann stimmen die beiden Dreiecke auch in der Größe der anderen Stücke überein:

α gleich β (Basiswinkel sind gleich.)
|AD|=|DB| (Die senkrechte DC zur Basis halbiert die Basis, ist also Mittelsenkrechte.)
Winkel ACD = Winkel DCB (Die Senkrechte DC zur Basis halbiert den Winkel an der Spitze, ist also Winkelhalbierende.)


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