Zweipunktverteilung

Die Verteilung einer Zufallsgröße, die genau zwei Werte annehmen kann, wird als Zweipunktverteilung bezeichnet. Ein häufig betrachteter Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die die zwei Werte 0 und 1 annimmt.

Ist p die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wert a angenommen wird, folgt für die Wahrscheinlichkeit q, dass der zweite Wert b angenommen wird, q = 1 − p. Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist:

$E(X)=p \cdot a+(1-p) \cdot b=p \cdot a+q \cdot b.$

Für die Varianz gilt:

$V(X)= E \left( (X-EX)^2 \right) = p \cdot (a-(pa+qb))^2 + q \cdot (b-(pa+qb))^2 =p \cdot q \cdot (a-b)^2.$

Sind Erwartungswert m, Standardabweichung s und Schiefe t vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

$p = (1+t/\sqrt{4+t^2})/2,$

q = 1 − p,

$a = m - s \cdot \sqrt{q/p},$

$b = m + s \cdot \sqrt{p/q}.$

Literatur

• Mack, Thomas: Versicherungsmathematik, 2. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft 2002, ISBN 388487957X