Bernoulli-Zahl

Die Bernoulli-Zahlen oder bernoullischen Zahlen Bn sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: als Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel, und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemann'schen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Achtung: In der Literatur werden die Bernoulli-Zahlen in zwei verschiedenen Weisen definiert, die im Folgenden zur Unterscheidung Bn bzw. βn geschrieben werden!

Die Bernoulli-Zahlen werden am einfachsten als Taylor-Koeffizienten der erzeugenden Funktion \tfrac{x}{e^x-1} eingeführt. Die Reihenentwicklung

\begin{align}
 \frac{x}{e^x-1} &= 1 - {x\over 2} + B_1 {x^2\over 2!} - B_2{x^4\over 4!} \pm \cdots + {(-1)}^{n+1} B_n {x^{2n}\over (2n)!}\pm \cdots \\
&= \beta_0 {x^0\over 0!} + \beta_1 {x\over 1!} + \beta_2 {x^2\over 2!} + \cdots + \beta_n {x^{n}\over n!} + \cdots
\end{align}

konvergiert für alle x mit einem Betrag kleiner als 2π.

Bernoulli selbst entdeckte diese Zahlen bei der Summation von Potenzen natürlicher Zahlen, z. B.:

\begin{align}
 1 + 2 + \cdots + (n-1) &= \tfrac12 (n-1) n \\
 1^2 + 2^2 + \cdots + (n-1)^2 &= \tfrac16 n (n-1) (2n -1)
\end{align}

Bei der Summation der k-ten Potenzen ist der Koeffizient des linearen Gliedes des Polynoms auf der rechten Seiten gleich βk.

Zahlenwerte

Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten: B1, B2, B3, … = 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, 174611/330, 854513/138, … Diese Zahlen finden sich beispielsweise in der Reihenentwicklung des Tangens, des Tangens Hyperbolicus oder des Cosecans wieder.

In der alternativen Definition ist β0 = 1 und β1 = − 1/2; alle weiteren β mit ungeradem Koeffizienten verschwinden: β2n + 1 = 0.

Die β mit geraden Koeffizienten ergeben sich aus den Bn gemäß Bn = ( − 1)n + 1β2n als β2, β4, β6, … = 1/6, − 1/30, 1/42, − 1/30, 5/66, …

Auch wenn die Folge-βn zunächst kleine Zahlenwerte annimmt, geht | βn | doch schneller gegen Unendlich als en. So ist

\beta_{100} \approx -2,838 \cdot 10^{78} bzw. \beta_{1000} \approx -5,319 \cdot 10^{1769}.

Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die klassischen (im o. g. Sinne) Bernoulli-Zahlen:

\begin{align} 
B_n &= \frac{ (2n)!} {2^{2n - 1}\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ k^{2n}} \\
 &= \frac{2 \cdot (2n)!}{(2^{2n}-1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ (2k + 1) ^{2n}} \\
 &= \frac{(2n)!} {(2^{2n - 1} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{ k^{2n}}
\end{align}

Produktentwicklung für Bernoulli-Zahlen

Aus den Reihenentwicklungen geht die folgende Produktentwicklung der Bernoulli-Zahlen hervor:

 B_n = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1} \pi^{2n}} \ \cdot \prod_{p \ \mathrm{prim}} \left( 1 - \frac{1}{p^{2n}} \right)^{-1} = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1} \pi^{2n}} \  \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{2^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{3^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{5^{2n}} \right) \cdots}.

Hierbei erstreckt sich das Produkt über alle Primzahlen (siehe Eulerprodukt).

Rekursionsformel

Setzt man β0 = 1 und β1 = − 1/2, so ergeben sich die Bernoulli-Zahlen βk aus der Rekursionsformel:

\sum_{k=0}^n {n + 1\choose k}\beta_k = 0

Für ungerade Zahlen n ≥ 3 gilt βn = 0

Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome

Die Bernoulli-Polynome sind eine Abbildung von B_n:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} und durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert: Für n = 0 setzen wir

B0(x): = 1

und für n \geq 1 ergibt sich das n-te Bernoulli-Polynom Bn eindeutig durch die beiden Bedingungen

\frac{d}{dx}B_n(x) = n \cdot B_{n-1}(x)

und

\int_0^1 B_n(x) \, dx = 0.

Als Summe geschrieben lautet der Ausdruck für das n-te Polynom:

B_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}\beta_k\,x^{n-k}.

Die ersten drei Polynome lauten somit:

B_1(x) = x-\frac{1}{2}
B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}
B_3(x) = x^3 -\frac{3}{2}x^2 +\frac{1}{2}x.

Die konstanten Terme dieser Polynome stehen in direktem Zusammenhang mit den Bernoulli-Zahlen, denn es sind gerade die Bernoulli-Zahlen βn.

Literatur

Siehe auch

Weblinks


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