Bernoulli-Zahlen

Die Bernoulli-Zahlen Bn sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: als Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel, und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Achtung: In der Literatur werden die Bernoulli-Zahlen in zwei verschiedenen Weisen definiert, die im Folgenden zur Unterscheidung Bn bzw. βn geschrieben werden.

Die Bernoulli-Zahlen werden am einfachsten als Taylor-Koeffizienten der erzeugenden Funktion \frac{x}{(e^x-1)} eingeführt. Die Reihenentwicklung

\frac{x}{e^x-1} = 1 - {x\over 2}  + B_1 {x^2\over 2!} - B_2{x^4\over 4!} \pm \ldots + {(-1)}^{n+1} B_n {x^{2n}\over (2n)!}\pm \ldots

beziehungsweise

\frac{x}{e^x-1} = \beta_0 {x^0\over 0!}  + \beta_1 {x\over 1!}  + \beta_2 {x^2\over 2!} + \ldots + \beta_n {x^{n}\over n!} + \ldots

konvergiert für alle x mit einem Betrag kleiner als 2π.

Bernoulli selbst entdeckte diese Zahlen bei der Summation von Potenzen natürlicher Zahlen, z. B.:

1 + 2 + ... + (n-1) = {1\over 2}  (n-1) n,
1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = {1\over 6} n (n-1) (2n -1).

Bei der Summation der k-ten Potenzen ist der Koeffizient des linearen Gliedes des Polynoms auf der rechten Seite die Bernoullische Zahl βk.

Zahlenwerte

Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten B1, B2, B3, ... = 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, 174611/330, 854513/138, ... Diese Zahlen finden sich beispielsweise in der Reihenentwicklung des Tangens, Tangens Hyperbolicus oder Cosecans wieder.

In der alternativen Definition ist β0=1 und β1=-1/2, alle weiteren β mit ungeradem Koeffizienten verschwinden: β2n+1=0. Die β mit geraden Koeffizienten ergeben sich aus den Bn gemäß Bn=(-1)n+1β2n als β2, β4, β6, ... = 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, ...

Auch wenn die Folge βn zunächst kleine Zahlenwerte annimmt, geht |βn| doch schneller gegen Unendlich als en. So ist β100 ≈ -2.838x1078 bzw. β1000 ≈ -5.319x101769.

Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die klassischen (im o.g. Sinne) Bernoulli-Zahlen:

 B_n = \frac{ (2n)!} {2^{2n - 1}\pi ^ {2n}} \cdot  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ k^{2n}}
 B_n = \frac{ 2 \cdot (2n)!} {(2^{2n} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot  \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ (2k + 1) ^{2n}}
 B_n = \frac{(2n)!} {(2^{2n - 1} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot  \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{ k^{2n}}

Rekursionsformel

Setzt man β0 = 1 und \beta_1 = -\frac{1}{2} so ergeben sich die Bernoulli-Zahlen βk aus der Rekursionformel:

\sum_{k=0}^n {n + 1\choose k}\beta_k = 0

Für ungerade Zahlen n \ge 3 gilt βn = 0.

Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome

Die Bernoulli-Polynome sind eine Abbildung B_n:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} und sind durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert:

B0(x) = 1

und für n größer gleich Eins:

\frac{d}{dx}B_n(x) = n \cdot B_{n-1}(x) \qquad \qquad \int_0^1 B_n(x) \, dx = 0 .

Als Summe geschrieben lautet der Ausdruck für das n-te Polynom

B_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}\beta_k\,x^{n-k}.

Die ersten drei Polynome lauten:

B_1(x) = x-\frac{1}{2}
B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}
B_3(x) = x^3 -\frac{3}{2}x^2 +\frac{1}{2}x

Die konstanten Terme dieser Polynome stehen in direktem Zusammenhang mit den Bernoulli-Zahlen, denn es sind gerade die Bernoulli-Zahlen βn.

Literatur

  • J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1992.
  • K. Ireland and M. Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 84, Springer–Verlag, 2. Auflage 1990.

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