Bernoulliverteilung

Zufallsgrößen mit einer Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen nur zwei mögliche Versuchsausgänge interessieren, das zufällige Ereignis (Erfolg) und sein komplementäres Ereignis (Misserfolg). Beispiele hierfür sind:

• Werfen einer Münze (Wappen p = 1 / 2, Zahl q = 1 / 2)
• Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg gewertet wird: p = 1 / 6, q = 5 / 6.
• Qualitätsprüfung (einwandfrei, nicht einwandfrei)
• Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht)

Die Bezeichnung Bernoulli-Versuch (Bernoullian trials nach Jakob I. Bernoulli) wurde erstmals 1937 in dem Buch Introduction to Mathematical Probability von James Victor Uspensky^[1] verwendet.

Definition

Eine diskrete Zufallsgröße X unterliegt der Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter p, wenn sie die folgenden Einzelwahrscheinlichkeiten besitzt.

$\operatorname{P}(X=1)=p$ und $\operatorname{P}(X=0)=q=1-p$.

Letzteres kann man auch durch den geschlossenen Ausdruck

$\operatorname{P}(X) = p^X \cdot q^{1-X}$

ersetzen, denn es ist

$\operatorname{P}(0) = p^0 \cdot q^{1-0} = q$   und   $\operatorname{P}(1) = p^1 \cdot q^{1-1} = p$

Eine Wiederholung von vielen identischen Versuchen, bei denen jeder Einzelversuch der Bernoulli-Verteilung genügt, wird Bernoullisches Versuchsschema oder Bernoulli-Prozess genannt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter p hat den Erwartungswert:

$\operatorname{E}(X)=p$

Varianz

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz:

$\operatorname{Var}(X) = p(1-p)= pq$, denn: $\operatorname{E}(X^2)-\operatorname{E}(X)^2=p-p^2 = p\cdot(1-p) = pq$.

Verteilungsfunktion

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Verteilungsfunktion:

$F_X(t)=\operatorname{P}(X\leq t) =\begin{cases} 0, & \mbox{wenn }t< 0 \\ 1-p, & \mbox{wenn }0\leq t< 1 \\ 1, & \mbox{wenn }1\leq t \end{cases}$

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für n = 1. Mit anderen Worten, die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter p genügt der Binomialverteilung. Die Binomialverteilung ist die n-fache Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter p bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit p.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgröße genügt für $n\to\infty$, $p_{n}\to 0$ und $\lim\limits_{n\to\infty}np_{n}=\lambda>0$ einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ.

Einzelnachweise

1. ↑ James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937

Siehe auch

• Geometrische Verteilung

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli-Verteilung | Binomialverteilung | Kategoriale | Hypergeometrische Verteilung | Rademacher | Zipfsche | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | Negative Binomialverteilung | Erweiterte negative Binomial | Compound Poisson | Diskret uniform | Discrete phase-type | Gauss-Kuzmin | Geometrische | Logarithmische | Parabolisch-fraktale | Poisson | Skellam | Yule-Simon | Zeta

 

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Kumaraswamy | Raised Cosine | Dreiecks | U-quadratisch | Stetige Gleichverteilung | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | F | Fermi-Dirac | Folded Normal | Fréchet | Gamma | Extremwert | Verallgemeinerte inverse Gausssche | Halblogistische | Halbnormale | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | Inverse Chi-Quadrat | Scale Inverse Chi-Quadrat | Inverse Normal | Inverse Gamma | Lévy | Log-normal | Log-logistische | Maxwell-Boltzmann | Maxwell speed | Nakagami | nichtzentrierte Chi-Quadrat | Pareto | Phase-type | Rayleigh | relativistische Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | Shifted Gompertz | Truncated Normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | Exponential Power | Fisher’s z | Fisher-Tippett (Gumbel) | Generalized Hyperbolic | Hyperbolic Secant | Landau | Laplace | Alpha stabile | logistisch | Normal (Gauss) | Normal-inverse Gausssche | Skew normal | Studentsche t | Type-1 Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

 

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen's | Multinomial | Dirichlet Multinomial

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | Generalized Dirichlet | Multivariate Normal | Multivariate Student | Normalskalierte inverse Gamma | Normal-Gamma

Multivariate Matrixverteilungen:
Inverse-Wishart | Matrix Normal | Wishart