Bernoulliverteilung

Zufallsgrößen mit einer Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen nur zwei mögliche Versuchsausgänge interessieren, das zufällige Ereignis (Erfolg) und sein komplementäres Ereignis (Misserfolg). Beispiele hierfür sind:

  • Werfen einer Münze (Wappen p = 1 / 2, Zahl q = 1 / 2)
  • Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg gewertet wird: p = 1 / 6, q = 5 / 6.
  • Qualitätsprüfung (einwandfrei, nicht einwandfrei)
  • Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht)

Die Bezeichnung Bernoulli-Versuch (Bernoullian trials nach Jakob I. Bernoulli) wurde erstmals 1937 in dem Buch Introduction to Mathematical Probability von James Victor Uspensky[1] verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine diskrete Zufallsgröße X unterliegt der Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter p, wenn sie die folgenden Einzelwahrscheinlichkeiten besitzt.

\operatorname{P}(X=1)=p und \operatorname{P}(X=0)=q=1-p.

Letzteres kann man auch durch den geschlossenen Ausdruck

\operatorname{P}(X) = p^X \cdot q^{1-X}

ersetzen, denn es ist

\operatorname{P}(0) = p^0 \cdot q^{1-0} = q   und   \operatorname{P}(1) = p^1 \cdot q^{1-1} = p

Eine Wiederholung von vielen identischen Versuchen, bei denen jeder Einzelversuch der Bernoulli-Verteilung genügt, wird Bernoullisches Versuchsschema oder Bernoulli-Prozess genannt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter p hat den Erwartungswert:

\operatorname{E}(X)=p

Varianz

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz:

\operatorname{Var}(X) = p(1-p)= pq, denn: \operatorname{E}(X^2)-\operatorname{E}(X)^2=p-p^2 = p\cdot(1-p) = pq.

Verteilungsfunktion

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Verteilungsfunktion:

F_X(t)=\operatorname{P}(X\leq t)
             =\begin{cases} 0,   & \mbox{wenn }t< 0 \\
                            1-p, & \mbox{wenn }0\leq t< 1 \\
                            1,   & \mbox{wenn }1\leq t 
              \end{cases}

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für n = 1. Mit anderen Worten, die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter p genügt der Binomialverteilung. Die Binomialverteilung ist die n-fache Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter p bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit p.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgröße genügt für n\to\infty, p_{n}\to 0 und \lim\limits_{n\to\infty}np_{n}=\lambda>0 einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ.

Einzelnachweise

  1. James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937

Siehe auch


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