Besselsche Interpolationsformel

Die Besselsche Interpolationsformel gehört zu den Interpolationsformeln mit äquidistanten Stützstellen. Mit ihrer Hilfe lassen sich Funktionen als Polynome n-ten Grades darstellen. n bestimmt sich aus den n + 1 Stützstellen. Sie wurde nach Friedrich Wilhelm Bessel, ihrem Urheber, benannt.

Differenzentabelle

Zuerst erstellt man eine sog. Differenzentabelle, in der die Interpolationspunkte xi in gleichen Abständen aufeinander folgen. Dieser Abstand h berechnet sich h = xi + 1xi. x0 liegt in der Mitte der Stützpunkte. Die Differenzen berechnen sich nun wie folgt: Δfi = f1 + ifi; alle weiteren analog dazu Δkfi = Δk − 1fi + 1 − Δk − 1fi.

Die Formel

Die Berechnung des Polynoms φ erfolgt dann mit der Formel \varphi=f_0+u\Delta f_0+\frac{u(u-1)}{2}\cdot\frac{\Delta^2f_{-1}+\Delta^2f_0}{2}+\frac{u(u-1)(u-0,5)}{3!}\cdot\Delta^3f_{-1}
+\frac{u(u^2-1)(u-2)}{4!}\cdot\frac{\Delta^4f_{-2}+\Delta^4f_{-1}}{2}+...+ +...+\frac{(u-0,5)u(u^2-1)...(u^2-(n-1)^2)(u-n)}{(2n+1)!}\cdot\Delta^{2n+1}f_{-1} mit u=\frac{x-x_0}{h}.


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