Bestapproximation

Sei (X,d)\, ein metrischer Raum, Y\subset X eine Teilmenge und x\in X beliebig.

Der Abstand des Elements x zur Teilmenge Y wird definiert als

dist(x,Y):=\inf_{y\in Y} d(x,y)

(vgl. hierzu Abstand zweier Mengen)

Existiert nun ein p\in Y mit:

d(x,p)=dist(x,Y)\,

so nennt man p Proximum oder Bestapproximation zu x in Y.

Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.

Bemerkung: Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum (X,\|\|) zu tun.

Ein Proximum p zu x\in X in Y\subset X ist dann - falls existent - charakterisiert durch die Gleichung

\|x-p\|=\inf_{y\in Y} \|x-y\|

Zur Existenz eines Proximums

  • Sei (X,\|\|) ein normierter Raum. V\subset X sei ein endlich-dimensionaler Teilraum und Y\subset V abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes x\in X ein Proximum in Y\,.

Proximum im Hilbertraum

Ist X ein Hilbertraum und Y \subset X, Y ein abgeschlossener Untervektorraum, dann ist das Proximum eindeutig, d.h. es existiert zu jedem x \in X genau ein  p \in Y mit \|x-p\| \le \|x-y\|\, \forall y \in Y


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