Betti-Zahl

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Bettizahlen (nach E. Betti) eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Sie sind topologische Invarianten.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es sei X ein topologischer Raum. Dann ist die i-te Bettizahl von X

b_i(X) = \dim_{\mathbb Q}H_i(X,\mathbb Q) für i=0,1,2,\ldots

Dabei bezeichnet H_i(X,\mathbb Q) die i-te singuläre Homologiegruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen.

Eigenschaften

bk = bnk.
  • Für jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit X gilt bk = 0 für k > n.
  • Für zwei topologische Räume X,Y gilt
b_n(X\times Y)=\sum_{\lambda+\mu=n}b_\lambda(X)b_\mu(Y).

Beispiele

  • Die Bettizahlen der n-Sphäre sind
b_k(S^n)=\begin{cases}1&\mathrm{f\ddot ur}\ k=0\ \mathrm{und}\ k=n\\0&\mathrm{sonst}\end{cases}.
  • Die Bettizahlen der reellen projektiven Ebene sind 1,0,0,0,\ldots, genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im \mathbb R^n. Zwei sehr verschiedene Räume können also in allen Bettizahlen übereinstimmen.

Verwandte Begriffe

Die Euler-Charakteristik ist die alternierende Summe der Bettizahlen, d.h.

\chi(X) = b_0(X) - b_1(X) + b_2(X) -+\ldots

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