Bettische Zahlen

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Bettizahlen (nach E. Betti) eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Sie sind topologische Invarianten.

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Definition

Es sei X ein topologischer Raum. Dann ist die i-te Bettizahl von X

b_i(X) = \dim_{\mathbb Q}H_i(X,\mathbb Q) für i=0,1,2,\ldots

Dabei bezeichnet H_i(X,\mathbb Q) die i-te singuläre Homologiegruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen.

Eigenschaften

bk = bnk.
  • Für jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit X gilt bk = 0 für k > n.
  • Für zwei topologische Räume X,Y gilt
b_n(X\times Y)=\sum_{\lambda+\mu=n}b_\lambda(X)b_\mu(Y).

Beispiele

  • Die Bettizahlen der n-Sphäre sind
b_k(S^n)=\begin{cases}1&\mathrm{f\ddot ur}\ k=0\ \mathrm{und}\ k=n\\0&\mathrm{sonst}\end{cases}.
  • Die Bettizahlen der reellen projektiven Ebene sind 1,0,0,0,\ldots, genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im \mathbb R^n. Zwei sehr verschiedene Räume können also in allen Bettizahlen übereinstimmen.

Verwandte Begriffe

Die Euler-Charakteristik ist die alternierende Summe der Bettizahlen, d.h.

\chi(X) = b_0(X) - b_1(X) + b_2(X) -+\ldots

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