Bi-Spinor

Die Weyl-Gleichung, nach Hermann Weyl benannt, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin-1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet.

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, in der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt,


\Psi=
\begin{pmatrix}
\Psi_L\\ \Psi_R
\end{pmatrix}\,.

Die 2er-Spinoren ΨL und ΨR sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse m gekoppelt,


\left(\mathrm i\gamma^n \part_n-m\right)\Psi=
\begin{pmatrix}
-m& \mathrm i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\\
\mathrm i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)&-m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\Psi_L\\ \Psi_R
\end{pmatrix}
=0\,.

Hierbei sind σ123 die Pauli-Matrizen.

Verschwindet die Masse,  m=0\,, so zerfällt die Diracgleichung in je eine Weyl-Gleichung für den links- und den rechtshändigen Spinor


\mathrm i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_L=0\,,\quad
\mathrm i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_R=0\,.

Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechthändigen Spinoren unterschiedlich, aber lorentzinvariant, an Vektorfelder koppeln können. Die Kopplung entsteht durch Ersetzung der Ableitungen durch sogenannte kovariante Ableitungen

D_n = \partial_n - \mathrm i\,e\,T_a\,A^a_n\,.

Dabei bezeichnet A^a_n die Komponenten der Vektorfelder und Ta Matrizen (die die Lie-Algebra der Eichgruppe darstellen). Die Zahl e ist die Kopplungskonstante. Die Darstellungsmatrizen können bei den linkshändigen und rechthändigen Spinoren verschieden sein. Bei der schwachen Wechselwirkung verschwinden bei den rechtshändigen Spinoren die Matrizen, T_a=0\,. Die rechtshändigen Spinoren haben keine schwache Wechselwirkung. Da die Kopplung von linkshändigen und rechthändigen Spinoren verschieden ist, spricht man auch von chiraler Kopplung.


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