Bijektive Funktion
Eine bijektive Funktion.

Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig auf oder eineindeutig auf) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion; eine bijektive Funktion nennt man auch Bijektion.

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv (kein Wert der Zielmenge wird mehrfach angenommen) als auch surjektiv (jeder Wert der Zielmenge wird angenommen) ist. Insgesamt heißt das, es findet eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge statt. Nur Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion - mit anderen Worten: sie ist immer invertierbar.

Für endliche Mengen haben die Definitionsmenge, die Bildmenge und die Zielmenge einer Bijektion dieselbe Anzahl von Elementen. Umgekehrt ist eine Funktion zwischen endlichen Mengen bijektiv, wenn diese drei Zahlen übereinstimmen.

Eine Bijektion einer endlichen Menge auf sich selbst heißt auch Permutation. Für unendliche Mengen definiert man die Mächtigkeit als Verallgemeinerung der Elementanzahl mit Hilfe des Begriffes der Bijektion.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei f eine Funktion, die von X nach Y abbildet, also f \colon X \to Y. f ist bijektiv, wenn für alle y \in Y genau ein x \in X mit f\left(x\right) = y existiert.

Mit anderen Worten (kann man dies so ausdrücken): f ist bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.

Grafische Veranschaulichungen

Das Prinzip der Bijektivität: Jeder Punkt in der Zielmenge (Y) wird genau einmal getroffen.
Vier bijektive streng monoton steigende reelle stetige Funktionen.
Vier bijektive streng monoton fallende reelle stetige Funktionen.

Beispiele und Gegenbeispiele

Die Menge der reellen Zahlen wird hier mit \mathbb{R} bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit \R^+_0.

  • Die Funktion f: \R\to\R, x\mapsto x+a ist bijektiv mit der Umkehrfunktion f^{-1}: \R\to\R, x\mapsto x-a.
  • Ebenso ist für a\ne 0 die Funktion g: \R\to\R, x\mapsto ax bijektiv mit der Umkehrfunktion g^{-1}: \R\to\R, x\mapsto \frac{x}{a}.
  • Beispiel: Ordnet man jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zu, ist dies eine Bijektion der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst. Dies ist sogar ein Beispiel für eine selbstinverse Abbildung.
  • Die folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren Definitions- bzw. Wertemengen:
f_1\colon\R\ \ \rightarrow\mathbb{R},\ \ \ x \mapsto x^2
f_2\colon\R^+_0\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ x \mapsto x^2
f_3\colon\R\ \ \rightarrow \R^+_0,\ x \mapsto x^2
f_4\colon\R^+_0\rightarrow \R^+_0,\ x \mapsto x^2
Mit diesen Definitionen ist
f1 nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
f2 injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
f3 nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv
f4 injektiv, surjektiv, bijektiv

Eigenschaften

  • Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist f : A \to B eine Funktion, dann gilt:
    Ist f injektiv, dann ist f bereits bijektiv.
    Ist f surjektiv, dann ist f bereits bijektiv.
  • Insbesondere gilt also für Funktionen f : A \to A von einer endlichen Menge A in sich selbst:
    f ist injektiv ⇔ f ist surjektiv ⇔ f ist bijektiv.
    Für unendliche Mengen ist das im Allgemeinen falsch. Diese können injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich selbst, die keine Bijektionen sind.
    Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben, siehe dazu auch Dedekind-Unendlichkeit.
  • Sind die Funktionen f : A \to B und g : B \to C bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung g\circ f : A \to C. Die Umkehrfunktion von g\circ f ist dann f^{-1}\circ g^{-1}.
  • Ist g\circ f bijektiv, dann ist f injektiv und g surjektiv.
  • Ist f : A \to B eine Funktion und gibt es eine Funktion g : B \to A, die die beiden Gleichungen
    g \circ f = \operatorname{id}_A (\operatorname{id}_A = Identität auf der Menge A)
    f \circ g = \operatorname{id}_B (\operatorname{id}_B = Identität auf der Menge B)
    erfüllt, dann ist f bijektiv, und g ist die Umkehrfunktion von f, also g = f − 1.
  • Die Bijektionen einer Menge A in sich selbst bilden, zusammen mit der Verkettung als Verknüpfung, eine Gruppe, die, falls A endlich ist, symmetrische Gruppe heißt.

Geschichte

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Wahrscheinlich wurde das Wort injektiv ebenso wie bijektiv und surjektiv in den 1930ern von N. Bourbaki geprägt.

Es herrscht stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen Eineindeutig einerseits und Injektiv bzw. Bijektiv andererseits. Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren Injektiv, „fachfremde“ Quellen favorisieren teilweise eher Bijektiv. Es sollte daher besser davon abgesehen werden, das Wort Eineindeutig in diesem Kontext zu verwenden.

Siehe auch

Literatur

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Bijektive Abbildung — Eine bijektive Funktion. Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig auf oder eineindeutig auf) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf… …   Deutsch Wikipedia

  • Funktion (Mathematik) — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y… …   Deutsch Wikipedia

  • Algebraische Funktion — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert …   Deutsch Wikipedia

  • Mathematische Funktion — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert …   Deutsch Wikipedia

  • Transzendente Funktion — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert …   Deutsch Wikipedia

  • Inverse Funktion — Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein… …   Deutsch Wikipedia

  • Holomorphe Funktion — Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt Holomorphie (von gr. holos, „ganz“ und morphe , „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem… …   Deutsch Wikipedia

  • My-rekursive Funktion — Die Klasse Pr der μ rekursiven Funktionen oder partiell rekursiven Funktionen spielt in der Rekursionstheorie, einem Teilgebiet der theoretischen Informatik, eine wichtige Rolle. Sie beschreibt die Menge aller Funktionen, die im intuitiven Sinn… …   Deutsch Wikipedia

  • Partiell-rekursive Funktion — Die Klasse Pr der μ rekursiven Funktionen oder partiell rekursiven Funktionen spielt in der Rekursionstheorie, einem Teilgebiet der theoretischen Informatik, eine wichtige Rolle. Sie beschreibt die Menge aller Funktionen, die im intuitiven Sinn… …   Deutsch Wikipedia

  • Μ-rekursive Funktion — Die Klasse Pr der μ rekursiven Funktionen oder partiell rekursiven Funktionen spielt in der Rekursionstheorie, einem Teilgebiet der theoretischen Informatik, eine wichtige Rolle. Sie beschreibt die Menge aller Funktionen, die im intuitiven Sinn… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”