Bikommutantensatz

Eine von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis.

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Definition

Eine von-Neumann-Algebra (benannt nach John von Neumann) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unteralgebra mit Eins der Algebra L\left(H\right) der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraums H, die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Hierbei ist A' := \bigl\{ x \in L(H) : (\forall a \in A)(xa = ax)\bigr\} die Kommutante von A.

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

  • Ist A\subset L(H) eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist A'' der Abschluss von A sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet. Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von Shôichirô Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden:

Faktoren

Die von-Neumann-Algebra A heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • A \cap A' = \mathbb C 1 .
  • A und A' erzeugen L\left(H\right).

Da A \cap A' die Menge der Operatoren aus A ist, die mit allen Operatoren aus A kommutieren, ist A \cap A' das Zentrum von A. Faktoren sind daher die von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum. Man kann von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

L\left(H\right) und \C\cdot 1_H sind Beispiele für Faktoren. Mit A ist auch A' ein Faktor; offenbar gilt L\left(H\right)'=\C\cdot 1_H und (\C\cdot 1_H)' = L\left(H\right).

Kommutative von-Neumann-Algebren

Sei (X,{\mathfrak X},\mu) ein σ-endlicher Maßraum. Dann ist H = L2(X,{\mathfrak X},\mu) ein Hilbertraum, und jede wesentlich beschränkte Funktion f\in L^{\infty}(X,{\mathfrak X},\mu) definiert via Multiplikation einen Operator M_f\in L(H), M_f(g):=f\cdot g. Die Abbildung f\to M_f ist ein *-Isomorphismus von f\in L^{\infty}(X,{\mathfrak X},\mu) auf eine kommutative von-Neumann-Algebra {\mathcal M}\subset L(H), man kann sogar {\mathcal M}' = {\mathcal M} zeigen, das heißt die Algebra {\mathcal M} stimmt mit ihrem Kommutanten überein. Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, {\mathcal M} ist also eine maximale kommutative von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum ([0,1],{\mathcal B},\lambda) (Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von \{M_f;\, f\in C([0,1])\} mit {\mathcal M}\cong L^{\infty}([0,1]) zusammenfällt. Der Übergang vom topologischen Konstrukt C([0,1]) zum maßtheoretischen Konstrukt L^{\infty}([0,1]) entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu von-Neumann-Algebren. Während man bei C*-Algebren wegen des Satzes von Gelfand-Neumark von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

Eigenschaften

Jede von-Neumann-Algebra ist eine C*-Algebra und somit auch eine Banachalgebra.

Wie sich aus dem beschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt, enthalten von-Neumann-Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen; jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([01]) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen. Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren; die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der von-Neumann-Algebren herangezogen.

Literatur

  • Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7
  • Shôichirô Sakai: C*-Algebras and W*-Algebras, 1971 Springer-Verlag, ISBN 3540636331
  • Jacob T. Schwartz: W-*Algebras, ISBN 0-677-00670-5

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