Bild (Mathematik)
Das Bild dieser Funktion ist
{A, B, D}.

Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild bzw. die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge, die f auf M tatsächlich annimmt.[1]

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge[2] oder Wertebereich[1] benutzt; andere bezeichnen mit diesen Wörtern aber stattdessen die Zielmenge[3]. Es besteht also Verwechslungsgefahr.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Für eine Funktion  f : X \to Y und eine Teilmenge M von X bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

f(M) := \{ f(x) \mid x \in M\}

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter f, also:

\operatorname{im} f := f(X) („im“ vom englischen Wort image)

Alternative Notationen

Für f(M)\!\, wird auch die Notation f[M]\!\, verwendet.

Die deutsche Bezeichnung \operatorname{Bild}(f) für \operatorname{im} f ist ebenfalls gebräuchlich.

Im allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel: Bild(f) = {A,B,D}.

Beispiele

Wir betrachten die Funktion  f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} (ganze Zahlen) mit f(x)\ := x^2.

  • Hierbei werden verschiedene Eingabegrößen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:
f(\{ 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
f(\{ -3, -2, -1 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
f(\{ -3, -2, -1, 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\
  • Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:
\operatorname{im}\, f = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \}\

Eigenschaften

Es sei f\colon X \to Y eine Funktion und M und N seien Teilmengen von X:

  • f(\varnothing) = \varnothing
  • M \subseteq N \Rightarrow f(M) \subseteq f(N)
  • f ist genau dann surjektiv, wenn \operatorname{im} f = Y.
  • f(M \cup N) = f(M) \cup f(N)
  • f(M \cap N) \subseteq f(M) \cap f(N)
    Ist f injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. a b Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S 106
  2. Reinhard Dobbener: Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2007, ISBN 3486579991. S 12, Definition 1.12
  3. Michael Ruzicka: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. S 21

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