Binomialreihe

Die binomische Reihe ist die im binomischen Lehrsatz

(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k

auf der rechten Seite stehende Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind die Binomialkoeffizienten, deren Name vom Auftreten im binomischen Lehrsatz abgeleitet wurde.

Ist α ganzzahlig, so bricht die Reihe nach dem Glied k = α ab und besteht dann nur aus einer endlichen Summe. Für nicht ganzzahliges α liefert die binomische Reihe die Taylorreihe von (1 + x)α mit Entwicklungspunkt 0.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Die Entdeckung der Binomialreihe für ganze positive Elemente, d. h. eine Reihenformel für Zahlen der Form (a + b)n kann heute Omar Alchaijama aus dem Jahr 1078 zugeordnet werden.

Newton entdeckt im Jahre 1669, dass die binomische Reihe für jede reelle Zahl α und alle reellen x\in ]-1,\,1[ das Binom (1 + x)α darstellt. Abel betrachtete 1826 die binomische Reihe für komplexe \alpha, x\in\Bbb C; er bewies, dass sie den Konvergenzradius 1 besitzt, falls \alpha\in\Bbb C\setminus\Bbb N gilt.

Verhalten am Rand des Konvergenzkreises

Es sei | x | = 1 und \alpha\in\Bbb{C}\setminus\Bbb{N}.

  • Die Reihe \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k konvergiert genau dann absolut wenn Re(α) > 0 oder α = 0 ist.
  • Für alle x\neq -1 auf dem Rand konvergiert die Reihe genau dann wenn Re(α) > − 1 ist.
  • Für x = − 1 konvergiert die Reihe genau dann wenn Re(α) > 0 oder α = 0 ist.

Beziehung zur geometrischen Reihe

Setzt man α = − 1 und ersetzt x durch x so erhält man \frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty {-1\choose k} (-x)^k.

Da {-1 \choose k}=(-1)^k ist lässt sich diese Reihe auch schreiben als \sum_{k=0}^\infty x^k.

Das heißt, die binomische Reihe enthält die geometrische Reihe als Spezialfall.

Beispiele

(1+x)^2 = {2 \choose 0}x^0 + {2 \choose 1} x^1 + {2 \choose 2} x^2
               = 1 + 2x + x^2
(ein Spezialfall der ersten binomischen Formel)
\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty {-1 \choose k} x^k
                     = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k
\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} = \sum_{k=0}^\infty {1/2 \choose k} x^k

Siehe auch


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