Biot-Savart-Kraft

Die Lorentzkraft ist die Kraft, die ein elektromagnetisches Feld auf eine bewegte elektrische Ladung ausübt. Sie ist nach Hendrik Antoon Lorentz benannt.

Drei Fälle der Bewegung einer Ladung, in einem Magnetfeld, das senkrecht zur Flugbahn der Teilchen aus der Zeichenebene verläuft: Ein negativ geladenes Teilchen (q<0) wird nach oben, ein positiv geladenes (q>0) nach unten, ein neutrales (q=0) überhaupt nicht abgelenkt.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Definition

Die Lorentzkraft \boldsymbol F wird auf eine elektrische Ladung q ausgeübt, die mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld bewegt wird. Ihr Wert errechnet sich zu (in SI-Einheiten)

\boldsymbol F=q \left(\boldsymbol E + \boldsymbol v \times \boldsymbol B\right).

Dabei ist \boldsymbol E die Elektrische Feldstärke und \boldsymbol B die Magnetische Flussdichte. Das Zeichen \times steht für das Vektorprodukt. Aus der Definition dieses Vektorproduktes folgt:

  • die Kraft F steht senkrecht auf der Ebene, die durch die Vektoren B und v aufgespannt wird.
  • Wenn die Vektoren B und v parallel sind, ist die Kraft 0.

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird oft nur die magnetische Komponente als Lorentzkraft bezeichnet:

\boldsymbol F=q \left(\boldsymbol v \times \boldsymbol B\right)

Lorentzkraft auf eine Punktladung

Die vom Magnetfeld verursachte Lorentzkraft steht senkrecht auf den magnetischen Feldlinien und ist senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung. Sie lenkt die Ladung ab, ohne den Betrag ihrer Geschwindigkeit zu verändern. Denn mit Newtons Bewegungsgleichung folgt

\frac{m}{2}\,\frac{\mathrm d \mathbf v^2}{\mathrm d t}= m \mathbf v\cdot\frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}=\mathbf v\cdot \mathbf F= q \,\mathbf v \cdot \bigl (\mathbf v \times \mathbf B\bigr)=0\,.

In Worten: Mit einem konstanten Magnetfeld kann man keine geladenen Teilchen beschleunigen. Das gilt nicht in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld (siehe Betatron). Dasselbe Ergebnis gilt auch für relativistische Teilchen. Da die Lorentzkraft proportional zur elektrischen Ladung ist, werden entgegengesetzt geladene Teilchen gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtung abgelenkt.

Der Betrag der Lorentzkraft ist

|\mathbf F| = |q| \, |\mathbf v|\,|\mathbf B| \, \sin \alpha\,.

Dabei bezeichnet α den Winkel zwischen der Bewegungsrichtung des Teilchens und dem Magnetfeld \mathbf B.

Wenn sich das Teilchen senkrecht zum Magnetfeld bewegt, gilt einfach sinα = 1 und

|\mathbf F| = |q| \, |\mathbf v|\,|\mathbf B|\,.

Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Der elektrische Strom in einem Leiter besteht aus bewegten elektrischen Ladungen. Daher übt das Magnetfeld auf einen stromdurchflossenen Draht eine Kraft aus.

Betrachten wir ein gerades Stück Draht, in dem die Ladungsträger, durch ein elektrisches Feld angetrieben, überall mit gleicher Geschwindigkeit \mathbf{v} in Richtung des Drahtes strömen. Dann durchlaufen sie in der Laufzeit t das Drahtstück

\mathbf{\ell}=\mathbf{v}\,t\,.
Bild:Lorentzkraft-graphic.PNG

Die Gesamtzahl der Ladungen, die in diesem Drahtstück den Strom bewirken, ist

\sum q=I\,t\,.

Denn innerhalb dieser Laufzeit verlassen alle Ladungen das Drahtstück und werden durch nachströmende ersetzt. Dabei bewirken sie den Strom I durch einen Drahtquerschnitt.

Wegen \sum q\, \mathbf{v}=I\,\mathbf{\ell} ist daher die Summe der Lorentzkräfte auf die Ladungen

\mathbf{F}=\sum q\, \mathbf{v}\times \mathbf{B}=I\,\mathbf{\ell}\times \mathbf{B}\,,

falls das Magnetfeld längs des Drahtstücks konstant ist.

Rechte-Hand-Regel

Die entsprechende Betragsgleichung lautet:

|\mathbf{F}|=I\,|\mathbf{\ell}|\,|\mathbf{B}|\,\sin\alpha\,,

wobei α der Winkel zwischen dem Draht und dem Magnetfeld ist.

Die Richtung ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel: zeigt der Daumen in Stromrichtung und der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes, dann zeigt der Mittelfinger in Richtung der Lorentzkraft. Bei der Stromrichtung ist zu beachten, dass sie bei negativen Ladungen in Gegenrichtung der Bewegung zeigt.

Als Eselsbrücke für die Frage, welcher Finger in wessen Richtung zeigt, hilft die Abkürzung FBI. Schaut man auf die Innenfläche der rechten Hand, bei der Daumen, Zeige- und Mittelfinger pistolenähnlich gespreizt sind, und benennt diese Finger im Uhrzeigersinn mit F, B und I, dann zeigt der Finger F in Richtung der Kraft, wenn B in Richtung des Magnetfeldes und I in Richtung des Stromes zeigen.

Wirkungsprinzip

Die Lorentzkraft ergibt sich in der Lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens mit Ladung q und Masse m aus der Lagrangefunktion

 L(t,\mathbf{x},\mathbf{v}) = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - q\,(\Phi + \mathbf{A}\cdot\mathbf{v})\ .

Hierbei sind \Phi(t,\mathbf{x}) und \mathbf{A}(t,\mathbf{x}) das skalare Potential und das Vektorpotential, die zu der elektrischen Feldstärke

 \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \mathbf{\nabla} \Phi

und der magnetischen Feldstärke

 \mathbf{B} = \mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}

gehören.

Das Prinzip der stationären Wirkung führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

 \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial v_i} - 
\frac{\partial L}{\partial x_i} = 0\ .

Im vorliegenden Fall lauten sie

 \frac{\mathrm d\mathbf{p}}{\mathrm dt} = q\,(\mathbf{E}+
\mathbf{v}\times\mathbf{B})\ .

Dabei ist

 \mathbf{p} = \frac{m\,\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

der Impuls des Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit \mathbf{v} bewegt.

Anwendungen

Technisch angewandt wird die Lorentzkraft im:

Die Ablenkung des Sonnenwinds durch das Magnetfeld der Erde im Van-Allen-Gürtel erfolgt durch die Lorentzkraft. Beim Eintritt in tiefere Luftschichten wird Nordlicht erzeugt.

Siehe auch

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