Bipolartransistor/Mathematische Beschreibung

Das physikalische Verhalten des Transistors basiert im Wesentlichem auf dem der Diode, wodurch die entsprechenden Formeln (in einer etwas abgewandelten Form) auch auf den Transistor angewandt werden können. Zusätzlich gilt es einige weitere Effekte wie die Stromverstärkung zu berücksichtigen.

Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen verwendet. Für weitere Formelzeichen siehe auch „Ersatzschaltungen des Bipolartransistors“.

Ströme

  -Strom -Dauer-
strom
-Spitzen-
strom
Kollektor- IC IC,max ICM
Basis- IB IB,max IBM
Emitter- IE IE,max IEM
  • Sättigungssperrstrom: I_S \approx 10^{-16} \dots 10^{-12} \, \mathrm{A}
  • Kollektor-Basis-Sperrstrom: ICBO
  • Emitter-Basis-Sperrstrom: IEBO
  • Kollektor-Emitter-Sperrstrom: ICEO bzw. ICES

Spannungen

  • Kollektor-Emitter Spannung: UCE
  • Basis-Emitter Spannung: UBE
  • Kollektor-Basis-Spannung: UCB
  • Early-Spannung: UA
    U_{A,pnp} \approx 30 \dots 75 \, \mathrm{V}
    U_{A,npn} \approx 30 \dots 150 \, \mathrm{V}
  • Emitter-Basis Durchbruchsspannung: U_{(BR)EBO}\approx 5\dots 7\,\mathrm{V}
  • Kollektor-Basis Durchbruchsspannung: U(BR)CBO
    U_{(BR)CBO}\approx 20\dots 80\,\mathrm{V} bei Niederspannungstransistoren
    U_{(BR)CBO} < 1{,}3 \,\mathrm{kV} bei Hochspannungstransistoren

Widerstände

  • Kleinsignalausgangswiderstand: rCE
  • Kleinsignaleingangswiderstand: rBE

Leistungen

  • Verlustleistung: PV
  • Maximale Verlustleistung:
    Ptot oder Pmax (allgemein)
    PV,25(A) (Umgebungsluftgekühlt; bei 25 °C)
    PV,25(C) (mit zusätzlicher Kühlung; bei 25 °C)

Andere

  • Großsignalverstärkung: B
    B \approx 10 \dots 100 bei Leistungstransistoren
    B \approx 100 \dots 500 bei Kleinleistungstransistoren
    B \approx 500 \dots 10^4 bei Darlington-Transistoren
  • Kleinsignalverstärkung: β
  • Steilheit: S
  • Rückwärtssteilheit: Sr
  • Arbeitspunkt: AP
  • Umgebungstemperatur: TA
  • Gehäusetemperatur: TC

Stromverstärkungsfaktor

Man unterscheidet beim Bipolartransistor den Gleichstromverstärkungsfaktor B (auch hFE) und die differentielle Stromverstärkung β (auch hfe). Beide können sehr unterschiedlich sein (je nach Aufbau und Dotierung des Transistors). Sollten im Datenblatt keine anderen Angaben zu β zu finden sein, kann man die Näherung β = B verwenden.

Die Formel für den Gleichstrom-Verstärkungsfaktor lautet:

B=h_{FE}=\frac{I_{\rm C}}{I_{\rm B}}

Diese Formel kann für die meisten Berechnungen eingesetzt werden, da sich die durch den Early-Effekt verursachte Abhängigkeit des Gleichstromverstärkungsfaktors B von UCE nur geringfügig auswirkt.

Unter Berücksichtigung des Early-Effekts erhält man:

B \left( U_{BE}, U_{CE} \right) = B_0 \left( U_{BE} \right) \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A}} \right)

wobei B0 die ideale Stromverstärkung ohne Early-Effekt darstellt.

Bei Wechselstrom tritt die differenzielle Stromverstärkung auf. Diese ergibt sich aus:

\beta=\frac{\part I_{\rm C}}{\part I_{\rm B}} mit UCE = konst.

Durch Einsetzen erhält man den Zusammenhang zwischen B und ß:

\beta = \frac{\part I_C}{\part \left( \frac{I_C}{B \left( I_C, U_{CE} \right)} \right)} = \frac{B}{1 - \frac{I_C}{B} \, \frac{\part B}{\part I_C}}

Man bezeichnet B auch als Großsignalverstärkung und β als Kleinsignalverstärkung.

Großsignalgleichungen

Über die Gleichungen der Diode zeigt sich eine exponentielle Abhängigkeit der Ströme IB und IC von der Spannung UBE. Für den Normalbetrieb ergibt sich somit:

I_C = I_S \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T}} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A}} \right)
I_B = \frac{I_C}{B \left( U_{BE}, U_{CE} \right)} = \frac{I_S}{B_0} \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T}}

Kleinsignalparameter

Die partiellen Ableitungen im Arbeitspunkt werden als Kleinsignalparameter bezeichnet. Diese können aus der Kennlinie ermittelt werden, allerdings ergibt sich aus dem Ablesefehler unter Verwendung von Datenblättern normalerweise kein brauchbares Ergebnis. Zudem sind die entsprechenden Kennlinien meist auch nicht angegeben.

Steilheit

Die Steilheit beschreibt die differenzielle Änderung des Kollektorstromes IC und der Spannung UBE.

S = \frac{\part I_C}{\part U_{BE}} \forall {AP} = \frac{I_{C,AP}}{U_T}

Kleinsignaleingangswiderstand

Der Kleinsignaleingangswiderstand rBE beschreibt die differenzielle Änderung der Spannung UBE und mit dem Basistrom IB.

r_{BE} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_B} \forall {AP}

rBE kann durch eine Umwandlung dieser Formel auch aus der Steilheit abgeleitet werden:

r_{BE} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_C} \forall {AP} \cdot \frac{\part I_C}{\part I_B} \forall {AP} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_B} \forall {AP} = \frac{\beta}{S}

Kleinsignalausgangswiderstand

Der Kleinsignalausgangswiderstand rCE gibt die differenzielle Änderung zwischen der Emitterspannung UCE und dem Kollektorstrom IC an.

r_{CE} = \frac{\part U_{CE}}{\part I_C} \forall {AP} = \frac{U_A + U_{CE,AP}}{I_{C,AP}}
\stackrel{\quad U_{CE,AP} \ll U_A \quad}{\approx}
\frac{U_A}{I_{C,AP}}

Rückwärtssteilheit

Die Rückwärtssteilheit Sr beschreibt die differenzielle Änderung zwischen dem Basisstrom IB und der Kollektor-Emitter-Spannung UCE.

S_r = \frac{\part I_B}{\part U_{CE}} \forall {AP}

Die Rückwärtssteilheit ist nur sehr gering und kann daher meist vernachlässigt werden.

S_r \approx 0

Kleinsignalgleichungen

Aus den Kleinsignalparametern erhält man die Kleinsignalgleichungen:

i_B = \frac{1}{r_{BE}} \, u_{BE} + S_r \, u_{CE}
i_C = S \, u_{BE} + \frac{1}{r_{CE}} \, u_{CE}

Kühlung

Die Berechnung der Kühlung eines Transistors entspringt der Wärmelehre. Die entstehende Wärme in der Sperrschicht (junction) TJ muss über das Substrat an das Gehäuse (case) mit der Temperatur TC, danach über den Kühlkörper (heatsink) mit der Temperatur TH und danach an die Umgebung (ambient) mit der Temperatur TA abgeleitet werden. Der dabei entstehende Wärmestrom (Φ) entspricht hierbei der im Transistor umgesetzten Leistung PV.

P_V = U_{CE} \, I_{C} = \Phi = \frac{T_J - T_A}{R_{th,JA}}

Die in den einzelnen Körpern (Substrat, Gehäuse, Kühlkörper, Umgebung) enthaltene Wärmemenge Qth ergibt sich aus:

Q_{th} = C_{th} \, T_{th}

Wobei Cth die Wärmekapazität der jeweiligen Körper darstellt, in der die Wärme gespeichert wird. Wird im Transistor zu viel Leistung umgesetzt, kann die Wärme nicht schnell genug abfließen und die Temperatur der einzelnen Schichten erhöht sich. Zudem darf die Umgebungstemperatur nicht zu hoch sein, damit die Wärme abfließen kann. Im Pulsbetrieb wird die maximale Leistung kurzfristig überschritten, da jedoch die Schichten die Möglichkeit zur Abkühlung haben, wird die maximal zulässige Temperatur dabei nicht überschritten.

P_{V,max,puls}\left( t_P , D \right) = \frac{T_{J,max} - T_{A,max}}{R_{th,JA,puls} \left( t_p , D \right)}

Hierbei ist tp die Pulsdauer, fw die Wiederholfrequenz und D das Tastverhältnis.

\lim_{t_p \to 0} \frac{P_{V,max,puls}}{P_{V,max,stat}} = \frac{1}{D} = \frac{1}{t_p \, f_w}

Grenzdaten

Ein Transistor besitzt verschiedene Kenndaten, die im Betrieb nicht überschritten werden dürfen. Dazu gehören Grenzspannungen, Grenzströme und die maximal zulässige Verlustleistung. Werden diese Werte überschritten, tritt ein Durchbruch auf, bei dem das Halbleitermaterial im Transistor schmilzt und dadurch dauerhaft leitfähig wird bzw. verdampft. Wenn Halbleitermaterial verdampft, kann durch den entstehenden Gasdruck das Transistorgehäuse aufgesprengt werden. Die Werte von pnp- und npn-Transistoren unterscheiden sich im Vorzeichen, jedoch nicht in den Beträgen.

Die Bezeichnung der Durchbruchsspannungen und -ströme setzen sich zusammen aus dem jeweiligen Formelzeichen (Spannung = U; Strom = I), der Bezeichnung BR für Durchbruch (breakdown), der Angabe der Anschlüsse, auf die sich der Wert bezieht (C; B; E), und einem Zusatz, welcher für den Belastungstyp des Transistors steht.

Zusatz Bedeutung Ausgang
S shorted kurzgeschlossen
O offen; open unbelastet
R resitor belastet

Arbeitsbereich

Begrenzung des Transistor-Arbeitsbereichs
Ausgangskennlinienfeld eines npn-Transistors
Betriebsgrenzen eines pnp-Darlingtonleistungs- transistors Typ BDV66C

Ein Bipolartransistor hat einen Arbeitsbereich (engl.: SOA, Safe Operation Area), der im Wesentlichen durch folgende Größen begrenzt wird:

  • maximal zulässiger Kollektorstrom IC,max
  • maximale Kollektor-Emitterspannung UCE,O (Leerlauffall), auch als UCE,max bezeichnet
  • maximale Sperrschichttemperatur  \vartheta_{j,max}

Da die Sperrschichttemperatur nicht direkt messbar ist, wird in Datenblättern die maximale Verlustleistung Ptot,max bei gegebener Umgebungs- bzw. Gehäusetemperatur angegeben.

Insbesondere bei Leistungstransistoren existiert noch eine weitere Grenze, der Durchbruch 2. Art (engl.: second breakdown oder secondary breakdown). Bei Leistungstransistoren hat das Halbleitermaterial notwendigerweise ein größeres Volumen als z. B. bei Kleinsignaltransistroren. Innerhalb des Halbleitermaterials treten daher vermehrt Inhomogenitäten auf, was dazu führt, dass in einigen Volumenelementen eine höhere Verlustleistung in Wärme umgesetzt wird als in anderen Volumenelementen. Bei hinreichend großer Verlustleistung, die aber noch unterhalb des maximalen Wertes Ptot,max liegt, steigt in einigen Volumenelementen die Temperatur so weit an, dass das Halbleitermaterial in den betroffenen Volumenelementen instabil wird. Bei hinreichend großer Kollektor-Emitterspannung erfolgt in den betroffenen Volumenelementen ein lokaler Durchbruch, wodurch diese zerstört werden. Durch den Ausfall einzelner Volumenelemente steigen die Verlustleistung und damit die Temperatur in allen anderen Volumenelementen an. Es erfolgen weitere lokale Durchbrüche mit Zerstörung der betroffenen Volumenelemente. Der Effekt setzt sich kaskadenartig fort und führt schließlich zur Zerstörung des Halbleitermaterials.

Spannungen

Basis-Emitter-Durchbruchsspannung
Bei der Basis-Emitter-Diode des pnp-Transistors liegt die Basis-Emitter-Durchbruchsspannung U(BR)EBO für die meisten Transistoren im Bereich zwischen 5 und 7 Volt. Da npn-Transistoren üblicherweise nicht mit einer negativen BE-Spannung betrieben werden, ist diese Angabe meist nicht relevant. Diese Spannung ist die kleinste Grenzspannung eines Transistors.
Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung
Die Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung U(BR)CBO gibt an, wann die Kollektor-Diode im Sperrbetrieb durchbricht. Da die Kollektor-Diode im Normalbetrieb gesperrt sein muss, darf diese Spannung im Normalbetrieb nicht überschritten werden. Diese Spannung ist die größte Grenzspannung eines Transistors.
Kollektor-Emitter-Spannung
In der Praxis ist die maximale Kollektor-Emitter-Spannung UCE besonders wichtig. Ab einer bestimmten Kollektor-Emitter-Spannung tritt ein Durchbruch auf, durch den der Kollektorstrom sehr stark ansteigt und damit die Zerstörung des Transistors verursacht.

Allgemein gilt:

U(BR)CEO < U(BR)CER < U(BR)CES < U(BR)CBO

für npn-Transistoren (UBR > 0 V) und umgekehrt

U(BR)CEO > U(BR)CER > U(BR)CES > U(BR)CBO

für pnp-Transistoren (UBR < 0 V).

Ströme

Bei den Grenzströmen unterscheidet man zwischen den maximalen Dauerströmen (continuous currents) und Spitzenströmen (peak currents). Die maximalen Dauerströme werden IB,max, IC,max und IE,max genannt. Die Spitzenströme werden ICM, IBM und IEM genannt und gelten jeweils für bestimmte, im Datenblatt angegebene, Pulsdauern und Pulswiederholraten. Die Spitzenströme sind üblicherweise 1,2 bis 2 mal so groß wie die Dauerströme.

Die Sperrströme (cut-off currents) werden mit IEBO und ICBO sowie mit ICEO bzw. ICES bezeichnet. Diese Ströme treten an der Emitter- bzw. Kollektor-Diode auf, wenn an dieser etwas weniger als die jeweiligen Durchbruchsspannungen anliegen (d. h. die Diode gerade nicht durchschaltet). Hierbei gilt:

ICES < ICEO

Leistung

Die Verlustleistung des Transistors ergibt sich aus:

P_V = U_{CE} \, I_C + U_{BE} \, I_B \approx U_{CE} \, I_C

Die maximale Verlustleistung Ptot bzw. Pmax ist eine der wichtigsten Kenndaten eines Transistors. Die Temperatur in der Sperrschicht erhöht sich um den Wert, bei dem die Wärme über das Gehäuse und den Kühlkörper an die Umgebung abgegeben werden kann. Diese Temperatur darf den materialabhängigen Grenzwert nicht überschreiten. Für Silicium gilt hierbei:

T_{max,SI} = 175\ \mathrm{{}^\circ C}

In der Praxis rechnet man hierbei sicherheitshalber mit einem Grenzwert von 150 °C, um ein vorzeitiges Schmelzen des Siliciums zu verhindern.

Im Datenblatt wird die maximale Verlustleistung für zwei Fälle angegeben:

  1. PV,25(A)
    Umgebungsluftgekühlter (free-air cooled) Betrieb bei stehender Montage auf einer Leiterplatte bei einer Umgebungstemperatur (ambient temperature) von T_A = 25\ \mathrm{{}^\circ C}. Bei Kleinleistungstransistoren ohne Befestigung für einen zusätzlichen Kühlkörper wird nur dieser Wert im Datenblatt angegeben, da in diesem Fall Ptot = PV,25(A) gilt.
  2. PV,25(C)
    Betrieb bei einer Gehäusetemperatur (case temperature) von T_C = 25\ \mathrm{{}^\circ C}. Die notwendigen Kühlmaßnahmen werden hierbei meist nicht mit angegeben. Bei Leistungstransistoren, die nur mit einem Kühlkörper betrieben werden dürfen, wird nur dieser Wert im Datenblatt als Ptot = PV,25(C) angeben.

Da die maximal zulässige Leistung Ptot mit zunehmender Temperatur abnimmt, wird im Datenblatt oft die sog. power derating curve angegeben, die Ptot in Abhängigkeit von TA bzw. TC angibt.

Temperaturabhängigkeit

Die Kenndaten eines Transistors sind stark von der Temperatur des Transistors abhängig. Die Abhängigkeit des Zusammenhangs zwischen Kollektorstrom IC und Basis-Emitter-Spannung UBE von der Temperatur T ist hierbei besonders wichtig:

I_C \left( U_{BE},T \right) = I_S \left( T \right) \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T \left( T \right)}} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_A} \right)

Der Grund dafür ist die Temperaturabhängigkeit vom Sperrstrom IS und der Temperaturspannung UT:

U_T(T) = \frac{k\, T}{q} = 86{,}142 \cdot 10^{-6} \, \frac{\rm V}{\rm K} \, T
I_S(T) = I_S \left( T_0 \right) \, e^{\left( \frac{T}{T_0} - 1 \right) \, \frac{U_G \left( T \right)}{U_T \left( T \right)}} \, {\left( \frac{T}{T_0} \right)}^{x_{T,I}} mit x_{T,I} \approx 3

Hierbei ist k die Boltzmannkonstante, q die Elementarladung und U_G= \tfrac{1{,}12\,\mathrm{eV}}{q} = 0{,}7\, \mathrm V die Bandabstandsspannung von Silizium. Da die Temperaturabhängigkeit von UG nur sehr gering ist, wird diese in der Praxis nicht berücksichtigt.

Durch Differentiation erhält man:

\frac{1}{I_S} \, \frac{\delta I_S}{\delta T} = \frac{1}{T} \, \left( 3 + \frac{U_G}{U_T} \right) \begin{matrix} {}_{T=300 \, \mathrm{K}} \\ \approx \\ \, \end{matrix} 0{,}15 \, \mathrm{K}^{-1}
\frac{1}{I_C} \, \frac{\delta I_C}{\delta T} \forall \left( U_{BE} = {const.} \right) = \frac{1}{T} \, \left( 3 + \frac{U_G - U_{BE}}{U_T} \right) \begin{matrix} {}_{T = 300 \, \mathrm{K}} \\ {}_{U_{BE} = 0{,}7\, \mathrm{V}} \\ \approx \\ \, \\ \, \end{matrix} 0{,}065 \, \mathrm{K}^{-1}

Das bedeutet, dass IC bei einer Temperaturerhöhung von nur 1 K bereits auf das 1,065-fache ansteigt. Zudem verdoppelt sich der Kollektorstrom IC, sobald die Temperatur um 11 K gestiegen ist. Der Arbeitspunkt kann daher nicht über UBE,A eingestellt werden, da IC,A bei Temperaturänderung möglichst konstant gehalten werden muss.

Für den Fall, dass IC,A nur schwach temperaturabhängig ist, kann man näherungsweise die Temperaturabhängigkeit von UBE ermitteln:

\frac{\delta U_{BE}}{\delta T} \forall \left( I_C = {const.} \right) = \frac{U_{BE} - U_G - 3\, U_T}{T} \begin{matrix} {}_{T = 300 \, \mathrm{K}} \\ {}_{U_{BE} = 0{,}7 \, \mathrm{V}} \\ \approx \\ \, \\ \, \end{matrix} -1{,}7 \cdot 10^{-3} \, \frac{V}{K}

Die Stromverstärkung ist ebenfalls temperaturabhängig. Hierbei gilt der Zusammenhang:

B(T) = B \left( T_0 \right) \, e^{\left( \frac{T}{T_0} -1 \right) \, \frac{\Delta U_{dot}}{U_T \left( T \right)}} \approx B \left( T_0 \right) \, {\left( \frac{T}{T_0} -1 \right)}^{x_{T,B}} mit x_{T,B} \approx 1{,}5

Hierbei ist Udot eine vom Material abhängige Konstante. Bei Silicium gilt U_{dot} \approx 44 \, \mathrm{mV}. In der Praxis ergibt sich bei T=300 K:

\frac{1}{B} \, \frac{\delta B}{\delta T} = \frac{\Delta U_{dot}}{U_T \, T} \approx 5{,}6 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{K}^{-1}

Und für die Näherung:

\frac{1}{B} \, \frac{\delta B}{\delta T} = \frac{x_{T,B}}{T} \approx 5 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{K}^{-1}

Vierpoldarstellung

Gemäß der Vierpoltheorie kann man jedes elektronische Bauelement als Vierpol behandeln. Im Fall des Transistors stellt man die Kleinsignalgleichungen in Matrizenform dar:

\begin{pmatrix} i_B \\ I_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{r_{BE}} &amp;amp;amp; S_r \\ S &amp;amp;amp; \frac{1}{r_{CE}} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix}

oder in der Leitwertdarstellung mit der Y-Matrix Ye:

\begin{pmatrix} i_B \\ I_C \end{pmatrix} = \mathbf{Y}_e \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{11,e} &amp;amp;amp; y_{12,e} \\ y_{21,e} &amp;amp;amp; y_{22,e} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix}

Alternativ kann man auch die Hybrid-Darstellung mit der H-Matrix He verwenden:

\begin{pmatrix} u_{BE} \\ I_C \end{pmatrix} = \mathbf{H}_e \, \begin{pmatrix} i_{B} \\ u_{CE} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h_{11,e} &amp;amp;amp; h_{12,e} \\ h_{21,e} &amp;amp;amp; h_{22,e} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} i_B \\ u_{CE} \end{pmatrix}

Der Index e bedeutet hierbei, dass der Transistor in einer Emitterschaltung betrieben wird.

Für die Umwandlung gilt:

r_{BE} = h_{11,e} = \frac{1}{y_{11,e}}
\beta = h_{21,e} = \frac{y_{21,e}}{y_{11,e}}
S = \frac{h_{21,e}}{h_{11,e}} = y_{21,e}
S_r = - \frac{h_{12,e}}{h_{11,e}} = y_{12,e}
r_{CE} = \frac{h_{11,e}}{h_{11,e} \, h_{22,e} - h_{12,e} \, h_{21,e}} = \frac{1}{y_{22,e}}

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