Bohrsches Atommodell

Das bohrsche Atommodell wurde 1913 von Niels Bohr entwickelt und war das erste Atommodell der Quantenphysik. Es baut auf dem rutherfordschen Atommodell auf. Das bohrsche Atommodell ist eine überholte Theorie, die den alten Quantentheorien zugerechnet wird.

Das bohrsche Atommodell des Wasserstoffatoms (Z = 1) bzw. eines wasserstoffähnlichen Ions (Z > 1). Beim dargestellten Sprung von der 3. zur 2. Kreisbahn emittiert das Elektron ein Photon der Energie E = hν, die einer Wellenlänge von 656 nm (rot) und mithin der ersten Linie der Balmer-Serie des Wasserstoffspektrums entspricht.

Inhaltsverzeichnis

Überblick

Nach dem bohrschen Atommodell besteht das Atom aus einem positiv geladenen Kern und negativ geladenen Elektronen in der Atomhülle, die diesen auf diskreten konzentrischen Bahnen umkreisen, ähnlich den Planetenbahnen des Sonnensystems nach Nicolaus Copernicus. Die klassische Elektrodynamik sagt bei kreisenden Ladungen die Erzeugung elektromagnetischer Wellen voraus. Dabei würde Energie abgestrahlt und folglich das Elektron langsamer werden. Aufgrund der dann kleiner werdenden Zentrifugalkraft („Fliehkraft“) würde das Elektron innerhalb kürzester Zeit auf einer Spiralbahn in den Kern stürzen. Da es aber Atome stabiler Größe gibt, wird das Modell in dieser Form von der Beobachtung widerlegt.

Um Atome zu beschreiben, die trotz kreisender Elektronen stabil sind, löste sich Bohr 1913 teilweise von der Gültigkeit der klassischen Mechanik und Elektrodynamik. Er nahm für Elektronen im Atom diskrete stabile Bahnen an, für die er bestimmte Bedingungen aufstellte. Strahlung gibt das Atom nur beim Übergang eines Elektrons von einer der erlaubten Bahnen in eine andere ab, wobei über den genaueren Ablauf dieses Quantensprungs aber keinerlei weitere Aussagen gemacht werden können. Damit brach Bohr auch mit dem bis dahin geltenden Lehrsatz natura non facit saltus (die Natur macht keine Sprünge).

Bohr folgte beim Aufstellen seines Modells keinem allgemeinen Prinzip, sondern ließ sich außer von den beobachteten Tatsachen stark von seiner Intuition leiten. Sein Modell zeigte erstmals, dass man durch eine Kombination einiger Ausnahmen von der klassischen Physik und wenigen, einfach erscheinenden neuen Bedingungen viele Eigenschaften der Atome ableiten konnte, die im Rahmen der damals möglichen Genauigkeit die Messergebnisse beim Wasserstoff wiedergeben: die Größe, die charakteristischen Wellenlängen des Linienspektrums, die Ionisationsenergie. Auf diese Weise legitimierte die Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen die z.T. revolutionären Annahmen des Atommodells. Es spielte daher eine überragende Rolle in der Entwicklung der Atomphysik. Mit seiner Anschaulichkeit, die in den ansonsten wesentlich besseren Modellen nach der Entwicklung der Quantenmechanik ab 1925 nicht mehr aufrecht erhalten werden konnte, dient das bohrsche Atommodell auch heute noch vielfach als Grundlage zur qualitativen Beschreibung atomarer Vorgänge.

Direkter Nachfolger des bohrschen Modells wurde ab 1916 das bohr-sommerfeldsche Atommodell. Darin wurden nach dem Vorschlag von Arnold Sommerfeld elliptische Bahnen mit einbezogen, um mehr und genauere Ergebnisse zu gewinnen, nachdem verbesserte experimentelle Methoden zunehmend Abweichungen zu den Vorhersagen des bohrschen Modells erbracht hatten.

Das Modell

Bohrsche Postulate

Bohr formulierte 1913 sein Modell, indem er das rutherfordsche Modell von 1911 (Elektronen bewegen sich um den sehr kleinen Atomkern) um drei Postulate erweiterte:

  1. Das Atom hat bestimmte stationäre Zustände verschiedener Energie, für die die Gesetze der klassischen Mechanik gelten. Für den Wechsel von einem dieser Zustände in einen anderen gelten sie nicht.
  2. Bei einem Übergang zwischen zwei stationären Zuständen mit verschiedener Energie wird Licht emittiert. Dabei wird die Frequenz ν der Lichtwelle ausschließlich durch die Energiedifferenz ΔE der beiden Zustände nach der von Max Planck entdeckten Formel: \nu = \tfrac{\Delta E}{h} bestimmt, nicht durch die Elektronenbewegung.
  3. Bei Übergängen eines Elektrons zwischen zwei Zuständen, die energetisch benachbart sind und in denen sich das Elektron nur langsam bewegt, soll sich die so bestimmte Frequenz der Lichtwelle doch an die Umlauffrequenz des Elektrons angleichen.

In den ersten beiden Postulaten formuliert Bohr das auf der Ebene der Atome die Gesetze der klassischen Mechanik und Elektrodynamik nicht gelten. Anders als in der klassischen Mechanik wird zwischen zwei Zuständen kein kontinuierlicher Übergang, sondern ein Quantensprung angenommen. In der detaillierten Berechnung setzt er das erste Postulat so um, dass er erstens für die stationären Zustände Kreisbahnen annimmt, bei denen die Coulomb-Kraft für die nötige Zentripetalkraft sorgt, und zweitens in direktem Widerspruch zur Theorie der Elektrodynamik annimmt, dass die Elektronen beim Umlauf keine Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung verlieren. Dadurch (und mit Hilfe einer weiteren, aber abwegigen und falschen Zusatzannahme)[1] gelingt es ihm, ganz neue Formeln für den Zusammenhang zwischen den Parametern der Elektronenbewegung (wie Bahnradius, Energie, Umlauffrequenz) und denen der emittierten Strahlung (Frequenz) abzuleiten, die nun der Rydberg-Formel ähnlich sehen. Um daraus die richtige auszuwählen, benutzt er in seinem 3. Postulat zum ersten Mal das von ihm entdeckte (aber erst später so bezeichnete) Korrespondenzprinzip, dem zufolge es einen fließenden Übergang von der vertrauten und bewährten klassischen Physik in die neue Quantenphysik geben muss, trotz der krassen Gegensätze, wie sie in den ersten beiden Postulaten angesetzt werden. Dann ergibt sich aus dem 3. Postulat, dass die stabilen Elektronenbahnen sich genau dadurch auszeichnen, dass der Bahndrehimpuls L des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten planckschen Wirkungsquantums \hbar = \tfrac{h}{2\pi} ist:  L = n \hbar , (n=1,2, \ldots). Auch dies wird zuweilen als 3. Bohrsches Postulat bezeichnet, denn es ermöglicht (s. u. Mathematische Formulierung) eine stenge Herleitung der richtigen Formeln, ohne das Korrespondenzprinzip oder diese falsche Zusatzannahme zu bemühen.

Bestätigungen

Das bohrsche Atommodell konnte eine Reihe von physikalischen Messergebnissen der im Entstehen begriffenen Atomphysik erklären. In nachfolgenden mit höherer Genauigkeit durchgeführten Experimenten zeigten sich allerdings auch deutliche Abweichungen zwischen Modell und Wirklichkeit.

Größe der Atome

Der mit den wenigen Grundannahmen des Modells berechnete Durchmesser von Atomen liegt für viele Elemente in der richtigen Größenordnung. Insbesondere stimmten sie grob mit den zur gleichen Zeit von Max von Laue und William H. Bragg erstmals durchgeführten Experimenten zur Röntgenbeugung überein. Die kleine, aber endliche Größe war eine Schlüssel-Eigenschaft der Atome in den noch vagen Vorstellungen zum Aufbau der Materie. Daher wurde die Fähigkeit des Bohr-Modells, die Größe aus allgemeinen Annahmen abzuleiten, als Erfolg angesehen.

Spektrale Übergänge

In der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurden Spektrallinien beim Wasserstoff-Atom entdeckt. Für die Position der Linien innerhalb der jeweiligen Serie konnten Johann Jakob Balmer und Johannes Rydberg anhand von gemessenen Linienspektren bereits 1885 und 1888 numerische Formeln angeben (Balmer-Serie, Rydberg-Formeln). Der physikalische Hintergrund dieser Formeln blieb jedoch zwanzig Jahre lang ein Rätsel. Die von Bohr eingeführten spektralen Übergänge der Elektronen von einer Schale auf die andere erlaubten, die Balmer- und Rydberg-Formel aus allgemeinen Prinzipien abzuleiten. Auch waren sie ein intuitiv einleuchtendes Bild der Vorgänge im Atom. Eine Serie entspricht dabei den Übergängen von Elektronen höherer Niveaus auf das gleiche Grundniveau. Für verschiedene höhere Niveaus erhält man eine höhere Energiedifferenz und damit Photonen höherer Energie, also höherer Frequenz.

Franck-Hertz-Versuch

Eine weitere Bestätigung des bohrschen Atommodells erfolgte 1913/1914 mit dem Franck-Hertz-Versuch. In dem Versuch konnte gezeigt werden, dass die Abgabe von kinetischer Energie von freien Elektronen an Quecksilberatome nur in bestimmten, diskreten Paketen möglich ist. Damit war der Quantenaspekt des bohrschen Atommodells bestätigt.

Schwächen und Widersprüche des Modells

Einige Schwächen und Widersprüche des Modells waren bereits bei der Veröffentlichung 1913 klar. Andere wurden später mit verbesserten Experimenten und weiter ausgearbeiteter Theorie der Quantenmechanik offensichtlich. Bohrs Atommodell ist historisch als Denkanstoß in Richtung auf ein quantenmechanisches Atommodell zu verstehen.

  • Die Postulate werden durch kein grundlegendes Prinzip, sondern allein durch ihren Erfolg gerechtfertigt. Sie widersprechen der klassischen Elektrodynamik.
  • Bohrs Modell beschreibt das Verhalten von Wasserstoffatomen und von Ionen mit nur einem Elektron. Mehrelektronensysteme werden nicht erfasst.
  • Das Wasserstoffatom in Bohrs Modell müsste eine flache Scheibe sein.
  • Chemische Bindungen können mit Bohrs Modell nicht verstanden werden.
  • Der Bahn-Drehimpuls des Elektrons im Grundzustand müsste nach dem Bohr-Modell \hbar sein, tatsächlich ist er aber 0.
  • Die Aufspaltung vieler Spektrallinien unter dem Einfluss von Magnetfeldern (Zeeman-Effekt) kann nicht erklärt werden.
  • Bestimmte Spektrallinien des Wasserstoffs erweisen sich bei genaueren Messungen als Doppellinien. Diese nach ihrem Entdecker Lamb-Shift genannte Trennung kann das Bohr-Modell nicht erklären.
  • Die in der Radioastronomie wichtige 21-cm-Linie des Wasserstoffs kann nicht aus dem Bohr-Modell abgeleitet werden.
  • Die Vorstellung einer definierten Bahn des Elektrons um den Atomkern verletzt die 1927 von Werner Heisenberg entdeckte Unschärferelation.

Die Theorie der Quantenmechanik, deren Berechnungen bis heute in allen Details mit den experimentellen Befunden übereinstimmen, zeichnet mit dem Orbitalmodell ein grundsätzlich anderes Bild vom Atom. Ohne äußere Einwirkungen ist das Atom stationär, es gibt also keine Bewegungen von Elektronen auf Bahnen. Anders als es das Bohr-Modell annimmt, hat das Elektron beim atomaren Wasserstoff eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern. Orbitale können mit zwei Kernen assoziiert sein und so chemische Bindungen vermitteln.

Mathematische Formulierung

So sehr das bohrsche Atommodell auch an der Wirklichkeit vorbeigeht, ist es doch den vorhergehenden Atommodellen deutlich überlegen. Es erlaubt den Vergleich einer Reihe von numerischen Resultaten mit experimentellen Ergebnissen, allen voran die Position der Linien des Wasserstoffspektrums. Anders als bei moderneren Atommodellen kommt die dafür nötige Mathematik mit dem Einsetzen in Formeln und einfachen Umformungen von Gleichungen aus.

Anzahl der Elektronen

Bei der Bestimmung der Elektronenanzahl gilt das Pauliprinzip.

Atomgröße

Das bohrsche Atommodell betrachtet das Elektron als punktförmiges Teilchen, das durch die entgegengesetzte elektrische Ladung des Kerns angezogen wird. Diese Kraft lenkt die Bahn des Elektrons nach den Gesetzen der klassischen Mechanik in Kreisbahnen. Deshalb nennt man im bohrschen Atommodell den Abstand eines Elektrons zum Kern auch klassischen Atomradius. Der Drehimpuls L eines Teilchens mit Masse m und Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r ist:

L = mvr.

Auf das Teilchen wirkt eine Zentripetalkraft

 F_\mathrm{zentr} = \frac{mv^2}{r}.

Auf das Elektron mit der Elementarladung e im elektrischen Feld des Protons gilt nach dem Coulomb-Gesetz

 F_\mathrm{el} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 }.

Die Zentripetalkraft, die das Teilchen auf der Kreisbahn hält, wird durch die Coulomb-Kraft aufgebracht, was bedeutet, dass beide gleich groß sind:

 F_\mathrm{el} = F_\mathrm{zentr} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{m_{e}v^2}{r}.

Der Drehimpuls muss der postulierten Auswahlbedingung genügen:

 m_{e} v r = n \hbar

Durch Auflösen nach v erhält man

v = \frac{n \hbar}{m_{e}r}

und durch Einsetzen für die Geschwindigkeit v:

\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{m_{e}\left(\frac{n \hbar}{m_{e}r}\right)^2}{r}

Für den Radius der Kreisbahn r gilt daher:

r = n^2 \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_{e}e^2}.

Der kleinste Radius mit n=1 wird als bohrscher Atomradius bezeichnet

 a_0 = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_{e}e^2} \approx 5{,}29 \cdot 10^{-11}\mathrm{m}.

Position der Linien im Spektrum des Wasserstoffs

Im Coulombfeld des Kerns gilt für die potentielle Energie des Elektrons (bei Festlegung des Nullpunkts im Unendlichen)

E_\mathrm{pot} = -\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}
 =_{(3)} -\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \left(n^2 \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{me^2}\right)}
 = -\frac{e^2 m e^2}{16 \pi^2 \varepsilon_0^2 n^2 \left(\frac{h}{2\pi}\right)^2}
 = -\frac{m e^4}{4 \varepsilon_0^2 n^2 h^2},

für die kinetische Energie gilt

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} mv^2 =_{(1)} \frac{1}{2} r \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
= \frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r}
=_{(3)} \frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 \left(n^2 \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{me^2}\right)}
= -\frac{1}{2} E_\mathrm{pot},

also für die Energie im n-ten Zustand

E_n = E_\mathrm{kin} + E_\mathrm{pot} = \frac{1}{2} E_\mathrm{pot} = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2}.

Für eine beliebige Kernladung mit Z Protonen ergibt sich eine Energie von

 E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \frac{Z^2}{n^2} = -\frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 } \frac{1}{a_0} \frac{Z^2}{n^2} \approx -13{,}6 \frac{Z^2}{n^2}\,\mathrm{eV}.

Für die Energiedifferenz vom n1-ten in den n2-ten Zustand erhält man

\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = \frac{m e^4 Z^2}{8 \varepsilon_0^2 h^2 } \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right),

wobei diese Energiedifferenz positiv ist, das heißt die Gesamtenergie des Systems durch Energiezufuhr von außen erhöht wird, wenn n2 > n1, und ansonsten Energie emittiert wird. Diese sogenannte Rydberg-Formel wurde bereits 1888 von Johannes Rydberg ohne Kenntnis eines Atommodells allein aufgrund von beobachteten Linienspektren aufgestellt.

Für die Erklärung der Spektren ist man an der Frequenz interessiert, für die nach Planck gilt E = hν. Die Frequenz der emittierten Strahlung beim Sprung vom n1-ten in den n2-ten Zustand (n1 > n2) beträgt also

 \nu = { {m e^4} \over {8 \varepsilon_0^2 h^3} } \left( {1 \over n_2^2} - {1 \over n_1^2} \right) .

Diese Voraussage entspricht bis auf die vierte Dezimale den beobachteten Werten.

Exaktere Werte erhält man, wenn man bedenkt, dass der Kern sich beim Kreisen des Elektrons minimal mitbewegt – beide bewegen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt, der aber innerhalb des in der Ruhemasse 1836 Mal schwereren Protons liegt – die Mechanik liefert einen Faktor \frac{1}{1 + \frac{m_{\text{Elektron}}}{m_{\text{Kern}}}} \approx \frac{1}{1{,}00055} .

Lässt man n1 gegen Unendlich gehen, erhält man die Energie, die nötig ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen bis zum Zustand n2 zu bewegen, also die Gesamtenergie des Grundzustands n2.

Ausblick

Das bohrsche Atommodell fand im bohr-sommerfeldschen Atommodell verschiedene Erweiterungen. So wurde unter anderem eine zweite und dritte Quantenzahl eingefügt, um Feinstruktur-Aufspaltungen zu erklären. Der Stern-Gerlach-Versuch erweiterte das Modell abermals um den Spin.

Mit der Quantenmechanik wurden beide Modelle abgelöst, zugleich aber auch die bohrschen Postulate vollständig begründet. Es wurde erkennbar, warum das bohrsche Modell und seine Erweiterung in vielen Bereichen Erfolge hatten, das heißt richtige Voraussagen trafen.

An dieser Stelle sollen zwei Beispiele gegeben werden, wie die bohrsche Auswahlbedingung schon durch grundlegende quantenmechanische Prinzipien – den Materiewellen beziehungsweise die heisenbergsche Unschärferelation – plausibel gemacht werden kann, ohne in irgendeiner Form den quantenmechanischen Formalismus aufzubauen.

De Broglie

Für eine kreisförmige stehende Welle muss ein ganzzahliges Verhältnis Umfang/Wellenlänge vorliegen.

Schon 1923 betrachtete Louis-Victor de Broglie Elektronen zum ersten Mal als Wellen (Materiewellen) und zeigte mithilfe einer relativistischen Argumentation, dass für die Wellenlänge λ eines Elektrons mit dem Impuls p gilt

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.

So wie die Saite einer Geige auch nur so schwingen kann, dass ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge auf die Saite passt – denn an den Aufhängungspunkten muss ein Wellenknoten vorliegen – so kann das Elektron auch nur so schwingen, dass ein ganzzahliges Vielfaches auf seine Kreisbahn passt:

2 \pi r = n \lambda \quad \Leftrightarrow \quad 2 \pi r = n \frac{h}{mv} \quad \Leftrightarrow \quad mvr = n \hbar \quad \Leftrightarrow \quad L = n \hbar;

genau Bohrs Auswahlbedingung.

Heisenberg

Eine häufig gebrauchte Formulierung der 1927 von Werner Heisenberg vorgestellten heisenbergschen Unschärferelation besagt, dass für die Ortsunschärfe Δx und die Impulsunschärfe Δp stets gilt

 \Delta x \Delta p \ge h .

Gleichartige Relationen gelten aber auch unter anderem für Energie und Zeit, und, was hier benutzt werden soll, für Drehimpuls L und Drehwinkel φ:

 \Delta L \Delta \varphi \ge h .

Nun kann man bei der Messung eines Drehwinkels aber offenbar maximal einen Fehler von (360°) machen, also  \Delta \varphi \le 2\pi, und damit folgt für die maximale Unschärfe für den Winkel Δφmax  = 2π, und damit

 \Delta L \Delta \varphi_{\max} \ge h \Rightarrow \Delta L \cdot 2\pi \ge h \Rightarrow \Delta L \ge \frac{h}{2\pi} = \hbar .

Für minimale Unschärfe von L gilt dann:

 \Delta L_{\min} = \hbar

Man kann also sagen, dass der Drehimpuls einen Bereich von \hbar für sich beansprucht. Drehimpulse müssen also, um unterscheidbar zu sein, mindestens diesen Abstand oder ein Vielfaches davon haben. Also muss gelten

 L = n \hbar.

Dies ist genau die Auswahlbedingung von Bohr.

Quellen

Weblinks

 Commons: Bohrsches Atommodell – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. N. Bohr: On the Constitution of Atoms and Molecules. In: Philosophical Magazine. 26, 1913, S. 4. Bohr nimmt willkürklich an, dass beim Einfang eines freien Elektrons in eine Bahn mit Umlauffrequenz ν die Bindungsenergie in Gestalt von n Lichtquanten der Energie \tfrac{1}{2}h\nu abgegeben wird. Diese Zahl n, die sich später als die (Haupt-)Quantenzahl herausstellt, ist also ursprünglich hier wirklich eine Anzahl von Quanten.

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