Bohrsches Postulat

Das bohrsche Atommodell wurde 1913 von Niels Bohr entwickelt und war das erste Atommodell der Quantenphysik. Es baut auf dem rutherfordschen Atommodell auf. Das bohrsche Atommodell ist eine überholte Theorie, die den alten Quantentheorien zugerechnet wird.

Elektronenanordnung des Bariums nach dem bohrschen Atommodell.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeines

Nach dem bohrschen Atommodell besteht das Atom aus einem positiv geladenen Kern und negativ geladenen Elektronen, die diesen auf diskreten konzentrischen Bahnen umkreisen, ähnlich den Planeten eines Sonnensystems. Die klassische Elektrodynamik sagt für solch ein System bewegter Ladungen die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen voraus. Dabei würde Energie abgestrahlt werden, die das Elektron verlangsamen würde. Aufgrund der dann kleiner werdenden Zentrifugalkraft („Fliehkraft“) würde das Elektron innerhalb kürzester Zeit auf einer Spiralbahn in den Kern stürzen. Dies widerspricht der Realität von stabilen Atomen.

Um stabile Atome zu beschreiben, in denen Elektronen auf konzentrischen Bahnen um den Kern kreisen, löste sich Bohr teilweise von der Gültigkeit der klassischen Mechanik. Er nahm für Elektronen im Atom diskrete Bewegungsgesetze an und brach so mit dem bis dahin geltenden Lehrsatz natura non facit saltus (die Natur macht keine Sprünge). In seinem Modell sind nur Bahnen erlaubt, die bestimmten Bedingungen genügen. Diese Bahnen postulierte er als stabil. Elektromagnetische Strahlung gibt das Atom nur beim Übergang eines Elektrons zwischen zwei so definierten Bahnen ab.

Anders als bei der später entwickelten Quantenmechanik folgte Bohr bei Wahl der Bedingungen keinem allgemeinen Prinzip, sondern ließ sich von seiner Intuition leiten. Aus den einfach erscheinenden Bedingungen lassen sich viele Eigenschaften des Linienspektrums des Wasserstoffs ableiten, die im Rahmen der damals möglichen Genauigkeit die Messergebnisse wiedergeben. Auf diese Weise legitimierte die Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen die Annahmen des Atommodells.

Nachdem verbesserte experimentelle Methoden Abweichungen zu den Vorhersagen des bohrschen Modells erbrachten, erweiterte Arnold Sommerfeld es um die Möglichkeit elliptischer Bahnen zum bohr-sommerfeldschen Atommodell.

Das Modell

Bohrsche Postulate

Bohr formulierte sein Modell, indem er das rutherfordsche Modell um drei Postulate erweiterte. Sie lauten:

  1. Elektronen bewegen sich auf stabilen Kreisbahnen um den Atomkern. Anders als es die Theorie der Elektrodynamik vorhersagt, strahlen die Elektronen beim Umlauf keine Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung ab.
  2. Der Radius der Elektronenbahn ändert sich nicht kontinuierlich, sondern sprunghaft. Bei diesem Quantensprung wird elektromagnetische Strahlung abgegeben (oder aufgenommen), deren Frequenz sich aus dem von Max Planck entdeckten Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz von Licht ergibt. Wenn E_{n_1} die Energie des Ausgangszustands und E_{n_2} die Energie des Zielzustands ist, dann wird ein Lichtquant emittiert mit der Frequenz ν der ausgesandten Strahlung \nu = \frac{(E_{n_1} - E_{n_2})}h.
  3. Elektronenbahnen sind nur stabil, wenn der Bahndrehimpuls L des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten planckschen Wirkungsquantums \hbar = \frac{h}{2\pi} ist:  L = n \hbar . Dieses Postulat wird häufig auch Auswahlbedingung genannt.

Des Weiteren gilt die klassische Bewegungsgleichung: Coulomb-Kraft = Zentripetalkraft.

Bestätigungen

Das bohrsche Atommodell konnte eine Reihe von physikalischen Messergebnissen der im Entstehen begriffenen Atomphysik erklären. In nachfolgenden mit höherer Genauigkeit durchgeführten Experimenten zeigten sich allerdings auch deutliche Abweichungen zwischen Modell und Wirklichkeit.

Größe der Atome

Der mit den wenigen Grundannahmen des Modells berechnete Durchmesser von Atomen liegt für viele Elemente in der richtigen Größenordnung. Insbesondere stimmten sie grob mit den zur gleichen Zeit von Max von Laue und William H. Bragg erstmals durchgeführten Experimenten zur Röntgenbeugung überein. Die kleine, aber endliche Größe war eine Schlüssel-Eigenschaft der Atome in den noch vagen Vorstellungen zum Aufbau der Materie. Daher wurde die Fähigkeit des Bohr-Modells, die Größe aus allgemeinen Annahmen abzuleiten, als Erfolg angesehen.

Spektrale Übergänge

In der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurden Spektrallinien beim Wasserstoff-Atom entdeckt. Für die Position der Linien innerhalb der jeweiligen Serie konnten Johann Jakob Balmer und Johannes Rydberg anhand von gemessenen Linienspektren bereits 1885 und 1888 numerische Formeln angeben. Der physikalische Hintergrund dieser Formeln blieb jedoch zwanzig Jahre lang ein Rätsel. Die von Bohr eingeführten spektralen Übergänge der Elektronen von einer Schale auf die andere erlaubten, die Balmer-Rydberg-Formel aus allgemeinen Prinzipien abzuleiten. Auch waren sie ein intuitiv einleuchtendes Bild der Vorgänge im Atom. Eine Serie entspricht dabei den Übergängen von Elektronen höherer Niveaus auf das gleiche Grundniveau. Für verschiedene höhere Niveaus erhält man eine höhere Energiedifferenz und damit Photonen höherer Energie, also höherer Frequenz.

Franck-Hertz-Versuch

Eine weitere Bestätigung des bohrschen Atommodells erfolgte 1913/1914 mit dem Franck-Hertz-Versuch. In dem Versuch konnte gezeigt werden, dass die Abgabe von kinetischer Energie von freien Elektronen an Quecksilberatome nur in bestimmten, diskreten Paketen möglich ist. Damit war der Quantenaspekt des bohrschen Atommodells bestätigt.

Probleme

Einige Schwächen und Widersprüche des Modells waren bereits bei der Veröffentlichung 1913 klar. Andere wurden später mit verbesserten Experimenten und weiter ausgearbeiteter Theorie der Quantenmechanik offensichtlich. Bohrs Atommodell ist historisch als Denkanstoß in Richtung auf ein quantenmechanisches Atommodell zu verstehen.

  • Die Postulate werden durch kein grundlegendes Prinzip, sondern allein durch ihren Erfolg gerechtfertigt. Sie widersprechen der klassischen Elektrodynamik.
  • Bohrs Modell beschreibt das Verhalten von Wasserstoffatomen und von Ionen mit nur einem Elektron. Mehrelektronensysteme werden nicht erfasst.
  • Das Wasserstoffatom in Bohrs Modell müsste eine flache Scheibe sein.
  • Chemische Bindungen können mit Bohrs Modell nicht verstanden werden.
  • Der Bahn-Drehimpuls des Elektrons im Grundzustand müsste nach dem Bohr-Modell \hbar sein, tatsächlich ist er aber 0.
  • Die Aufspaltung vieler Spektrallinien unter dem Einfluss von Magnetfeldern (Zeeman-Effekt) kann nicht erklärt werden.
  • Bestimmte Spektrallinien des Wasserstoffs erweisen sich bei genaueren Messungen als Doppellinien. Diese nach ihrem Entdecker Lamb-Shift genannte Trennung kann das Bohr-Modell nicht erklären.
  • Die in der Radioastronomie wichtige 21-cm-Linie des Wasserstoffs kann nicht aus dem Bohr-Modell abgeleitet werden.
  • Die Vorstellung einer definierten Bahn des Elektrons um den Atomkern verletzt die 1927 von Werner Heisenberg entdeckte Unschärferelation.

Die Theorie der Quantenmechanik, deren Berechnungen bis heute in allen Details mit den experimentellen Befunden übereinstimmen, zeichnet mit dem Orbitalmodell ein grundsätzlich anderes Bild vom Atom. Ohne äußere Einwirkungen ist das Atom stationär, es gibt also keine Bewegungen von Elektronen auf Bahnen. Anders als es das Bohr-Modell annimmt, hat das Elektron beim atomaren Wasserstoff eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern. Orbitale können mit zwei Kernen assoziiert sein und so chemische Bindungen vermitteln.

Mathematische Formulierung

So sehr das bohrsche Atommodell auch an der Wirklichkeit vorbeigeht, ist es doch den vorhergehenden Atommodellen deutlich überlegen. Es erlaubt den Vergleich einer Reihe von numerischen Resultaten mit experimentellen Ergebnissen, allen voran die Position der Linien des Wasserstoffspektrums. Anders als bei moderneren Atommodellen kommt die dafür nötige Mathematik mit dem Einsetzen in Formeln und einfachen Umformungen von Gleichungen aus.

Anzahl der Elektronen

Bei der Bestimmung der Elektronenanzahl gilt das Pauliprinzip.

Atomgröße

Das bohrsche Atommodell betrachtet das Elektron als punktförmiges Teilchen, das durch die entgegengesetzte elektrische Ladung des Kerns angezogen wird. Diese Kraft lenkt die Bahn des Elektrons nach den Gesetzen der klassischen Mechanik in Kreisbahnen. Deshalb nennt man im bohrschen Atommodell den Abstand eines Elektrons zum Kern auch klassischen Atomradius. Der Drehimpuls L eines Teilchens mit Masse m und Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r ist:

L = mvr.

Auf das Teilchen wirkt eine Zentripetalkraft

 F_{zentr} = { mv^2 \over r }.

Auf das Elektron mit der Elementarladung e im elektrischen Feld des Protons gilt nach dem Coulomb-Gesetz

 F_{el} = { e^2 \over 4 \pi \epsilon_0 r^2 }.

Die Zentripetalkraft, die das Teilchen auf der Kreisbahn hält, wird durch die Coulomb-Kraft aufgebracht, was bedeutet, dass beide gleich groß sind:

 F_{el} = F_{zentr} \Leftrightarrow { e^2 \over 4 \pi \epsilon_0 r^2 } = { m_{e}v^2 \over r }.

Der Drehimpuls muss der postulierten Auswahlbedingung genügen. Sie ergibt sich aus der Tatsache, dass der Umfang der Kreisbahn ein ganzzahliges Vielfaches der Elektronenelementarwellenlänge (De-Broglie-Wellenlänge) sein muss, da diese sich ansonsten destruktiv auslöschen würde, und somit das Elektron eine stehende Materiewelle auf der Kreisbahn ist:

 \lambda_{dB} = {h \over p} = {h \over m_{e} v}
 2 \pi r = n {h \over m_{e} v}

Durch Auflösen nach v erhält man

 v={ n \hbar \over m_{e}r }

und durch Einsetzen für die Geschwindigkeit v:

 { e^2 \over 4 \pi \epsilon_0 r^2 } = { m_{e}({n \hbar \over m_{e}r})^2 \over r } \Leftrightarrow { e^2 \over 4 \pi \epsilon_0 r^2 } = { m_{e}n^2 \hbar^2 \over m_{e}^2r^3 } \Leftrightarrow
 r = n^2{ 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 \over m_{e}e^2 }.

Der kleinste Radius mit n=1 wird als bohrscher Atomradius bezeichnet

 a_0 = { 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 \over m_{e}e^2 } \approx 5{,}29 \cdot 10^{-11}\mathrm{m}.

Position der Linien im Spektrum des Wasserstoffs

Im Coulombfeld des Kerns gilt für die potentielle Energie des Elektrons

E_{pot} = -{ e^2 \over 4 \pi \epsilon_0 r}
 =_{(3)} -{ e^2 \over 4 \pi \epsilon_0 (n^2{ 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 \over me^2 })}
 = -{ e^2 m e^2 \over 16 \pi^2 \epsilon_0^2 n^2({h \over 2\pi})^2}
 = -{ m e^4 \over 4 \epsilon_0^2 n^2 h^2 },

für die kinetische Energie gilt

E_{kin} = {1 \over 2}mv^2 =_{(1)} {1 \over 2}r{ e^2 \over 4 \pi \epsilon_0 r^2 }
= { e^2 \over 8 \pi \epsilon_0 r }
=_{(3)} { e^2 \over 8 \pi \epsilon_0 (n^2{ 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 \over me^2 }) }
= -{1 \over 2}E_{pot},

also für die Energie im n-ten Zustand

E_n = E_{kin}+E_{pot} = {1 \over 2}E_{pot} = -{ m e^4 \over 8 \epsilon_0^2 n^2 h^2 }.

Für eine beliebige Kernladung mit Z Protonen ergibt sich eine Energie von

 E_n = -{ m e^4 \over 8 \epsilon_0^2 h^2 } {Z^2 \over n^2} = -{ e^2 \over 8 \pi \epsilon_0 } {1\over a_0} {Z^2 \over n^2} = -13.6 {Z^2 \over n^2}\mathrm{eV}.

Für die Energiedifferenz vom n1-ten in den n2-ten Zustand erhält man

\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = { m e^4 Z^2 \over 8 \epsilon_0^2 h^2 } \left( { 1 \over n_1^2 } - { 1 \over n_2^2 } \right),

wobei diese Energiedifferenz positiv ist, das heißt die Gesamtenergie des Systems durch Energiezufuhr von außen erhöht wird, wenn n2 > n1, und ansonsten Energie emittiert wird. Diese sogenannte Rydberg-Formel wurde bereits 1888 von Johannes Rydberg ohne Kenntnis eines Atommodells allein aufgrund von beobachteten Linienspektren aufgestellt.

Für die Erklärung der Spektren ist man an der Frequenz interessiert, für die nach Planck gilt E = hν. Die Frequenz der emittierten Strahlung beim Sprung vom n1-ten in den n2-ten Zustand (n1 > n2) beträgt also

 \nu = { {m e^4} \over {8 \epsilon_0^2 h^3} } \left( {1 \over n_2^2} - {1 \over n_1^2} \right) .

Diese Voraussage entspricht bis auf die vierte Dezimale den beobachteten Werten.

Exaktere Werte erhält man, wenn man bedenkt, dass der Kern sich beim Kreisen des Elektrons minimal mitbewegt – beide bewegen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt, der aber innerhalb des in der Ruhemasse 1836 Mal schwereren Protons liegt – die Mechanik liefert einen Faktor  { 1 \over 1 + { m_{\mathrm{Elektron}} \over m_{\mathrm{Kern}} } } \approx { 1 \over 1{,}00055 } .

Lässt man n1 gegen Unendlich gehen, erhält man die Energie, die nötig ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen bis zum Zustand n2 zu bewegen, also die Gesamtenergie des Grundzustands n2.

Ausblick

Das bohrsche Atommodell fand im bohr-sommerfeldsches Atommodell verschiedene Erweiterungen. So wurde unter anderem eine zweite und dritte Quantenzahl eingefügt, um Feinstruktur-Aufspaltungen zu erklären. Der Stern-Gerlach-Versuch erweiterte das Modell abermals um den Spin.

Mit der Quantenmechanik wurden beide Modelle abgelöst, zugleich aber auch die bohrschen Postulate vollständig begründet. Es wurde erkennbar, warum das bohrsche Modell und seine Erweiterung in vielen Bereichen Erfolge hatten, das heißt richtige Voraussagen trafen.

An dieser Stelle sollen zwei Beispiele gegeben werden, wie die bohrsche Auswahlbedingung schon durch grundlegende quantenmechanische Prinzipien – den Materiewellen beziehungsweise die heisenbergsche Unschärferelation – plausibel gemacht werden kann, ohne in irgendeiner Form den quantenmechanischen Formalismus aufzubauen.

De Broglie

Schon 1923 betrachtete Louis-Victor de Broglie Elektronen zum ersten Mal als Wellen (Materiewellen) und zeigte mithilfe einer relativistischen Argumentation, dass für die Wellenlänge λ eines Elektrons mit dem Impuls p gilt

\lambda = { h \over p } = { h \over mv }.

So wie die Saite einer Geige auch nur so schwingen kann, dass ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge auf die Saite passt – denn an den Aufhängungspunkten muss ein Wellenknoten vorliegen – so kann das Elektron auch nur so schwingen, dass ein ganzzahliges Vielfaches auf seine Kreisbahn passt:

2 \pi r = n \lambda \Leftrightarrow 2 \pi r = n { h \over mv } \Leftrightarrow mvr = n \hbar \Leftrightarrow L = n \hbar;

genau Bohrs Auswahlbedingung.

Heisenberg

Eine häufig gebrauchte Formulierung der 1927 von Werner Heisenberg vorgestellten heisenbergschen Unschärferelation besagt, dass für die Ortsunschärfe Δx und die Impulsunschärfe Δp stets gilt

 \Delta x \Delta p \ge h .

Gleichartige Relationen gelten aber auch unter anderem für Energie und Zeit, und, was hier benutzt werden soll, für Drehimpuls L und Drehwinkel \varphi:

 \Delta L \Delta \varphi \ge h .

Nun kann man bei der Messung eines Drehwinkels aber offenbar maximal einen Fehler von (360°) machen, also  \Delta \varphi \le 2\pi, und damit folgt für die maximale Unschärfe für den Winkel \Delta \varphi_{max} = 2\pi, und damit

 \Delta L \Delta \varphi_{max} \ge h \Rightarrow \Delta L \cdot 2\pi \ge h \Rightarrow \Delta L \ge \frac{h}{2\pi} = \hbar .

Für minimale Unschärfe von L gilt dann:

 \Delta L_{min} = \hbar

Man kann also sagen, dass der Drehimpuls einen Bereich von \hbar für sich beansprucht. Drehimpulse müssen also, um unterscheidbar zu sein, mindestens diesen Abstand oder ein Vielfaches davon haben. Also muss gelten

 L = n \hbar.

Dies ist genau die Auswahlbedingung von Bohr.

Quellen

Siehe auch

Weblinks


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