Born-Oppenheimer-Näherung

Born-Oppenheimer-Näherung

Die Born-Oppenheimer-Näherung oder Born-Oppenheimer-Approximation oder adiabatische Näherung ist eine Methode zur Lösung der Schrödingergleichung für ein System mit mehreren schweren und wenigstens einem leichten Teilchen. Dieses Problem tritt bei der quantenmechanischen Behandlung von Molekülen auf, da diese aus mindestens zwei Atomkernen und einer Vielzahl von sehr viel leichteren Elektronen bestehen. Schon für das einfachste Molekül, das \mathrm H_2^{\operatorname +}-Ion, ist eine analytisch exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Elektron und die zwei Kerne nicht mehr möglich, eine Näherung also unumgänglich. Die Born-Oppenheimer-Approximation ist benannt nach Max Born und J. Robert Oppenheimer. Born und Oppenheimer hatten diese Vorgehensweise erstmals 1927 in den Annalen der Physik veröffentlicht.[1]

Inhaltsverzeichnis

Prinzip

Die Vereinfachung beruht auf der Annahme, dass man die Bewegung der Kerne von der Bewegung der Elektronen trennen kann. Dies wird nahe gelegt durch den großen Massenunterschied, der zu einer größeren Trägheit der Kerne führt. Da alle Teilchen untereinander hauptsächlich durch Coulomb-Kräfte wechselwirken, die im Wesentlichen gleich stark sind, werden die Elektronen viel stärker beschleunigt als die Kerne.

Die Näherung besteht bildlich gesprochen darin, zunächst die Kerne nach dem Adiabatischen Theorem der Quantenmechanik als ortsfest zu betrachten. Daraus ergibt sich ein Potential für die Elektronenbewegung. Man versucht nun, die Wellenfunktion der Elektronen in diesem Zustand und deren Energie (im Allgemeinen näherungsweise) zu berechnen. Dazu addiert man die Energie der Kerne in der betrachteten Anordnung. So erhält man eine Gesamtenergie für das System. Dann variiert man die Anordnung der Kerne, erhält wieder eine Gesamtenergie usw. Die Gesamtenergie in Abhängigkeit von der Anordnung der Kerne verwendet man dann als Potential, in dem man die Kernbewegung berechnen kann.

Mathematische Formulierung

Die Voraussetzung für diese Annäherung besteht in der Annahme, dass die Elektronenbewegung und die Kernbewegung getrennt werden können. Diese Annahme führt zu einer molekularen Wellengleichung, die aus einem Produkt der Elektronen-Wellenfunktion Ψel und der Kern-Wellenfunktion Ψn besteht:

 \Psi_{mol} (\vec{r_i}, \vec{R_j})  = \Psi_{el} (\vec{r_i}, \vec{R_j}) \cdot \Psi_n (\vec R_j)

Weiter trifft man die Annahmen, dass:

  • Ψel von den Kernpositionen \vec R_n abhängt, aber nicht von deren Geschwindigkeiten. D. h., die Kernbewegung ist so viel kleiner als die Elektronenbewegung, dass sie als fest angenommen werden kann und nur als Parameter einfließt
  • und somit die Kernwellenfunktion nur von der Kernkoordinate \vec R_j abhängt.

Wendet man nun den Hamilton-Operator (\hat H) auf die gesamte Wellenfunktion an, so bekommt man zwei getrennte Ausdrücke:

  • einen für die Bewegung der Elektronen

Elektronen-Schrödingergleichung:

\hat H_e\cdot\psi_{el}(\vec r_i, \vec R_j) = E_e\cdot\psi_{el}(\vec r_i, \vec R_j)
  • und einen für die Kernbewegung
\hat H_n\cdot\psi_n(\vec R_j) = E_n\cdot\psi_n(\vec R_j)

Zusammengefasst: Die große Differenz der relativen Massen zwischen Elektronen und Kernen erlaubt es also, die Wellenfunktion in eine Elektronen-Wellengleichung und eine Kern-Wellengleichung zu trennen.

Vorgehensweise

Für verschiedene Kernabstände wird die Schrödingergleichung sukzessiv gelöst. Man erhält schließlich einen Zusammenhang zwischen Bindungslänge und der Energie des Moleküls. Dies wird durch die Potentialkurve ausgedrückt. Aus der Potentialkurve lassen sich der Gleichgewichtsabstand und die Dissoziationsenergie der Bindung ermitteln.

Güte

Die Born-Oppenheimer-Näherung führt zu guten Ergebnissen für Moleküle im Grundzustand, insbesondere bei denen mit schweren Kernen. Allerdings kann sie zu sehr schlechten Ergebnissen für angeregte Moleküle und Kationen führen, was besonders bei der Photoelektronenspektroskopie zu beachten ist.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. M. Born, R. Oppenheimer: Zur Quantentheorie der Molekeln. In: Annalen der Physik. 389, Nr. 20, 1927, S. 457–484, doi:10.1002/andp.19273892002.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Born- Oppenheimer- Näherung — Die Born Oppenheimer Näherung oder Born Oppenheimer Approximation oder adiabatische Näherung ist eine Methode zur Lösung der Schrödingergleichung für ein System mit mehreren schweren und wenigstens einem leichten Teilchen. Dieses Problem tritt… …   Deutsch Wikipedia

  • Born-Oppenheimer Näherung — Borno ir Openheimerio artinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Born Oppenheimer approximation vok. Born Oppenheimer Näherung, f rus. приближение Борна Оппенгеймера, n pranc. approximation de Born Oppenheimer, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Born-Oppenheimer-Approximation — Die Born Oppenheimer Näherung oder Born Oppenheimer Approximation oder adiabatische Näherung ist eine Methode zur Lösung der Schrödingergleichung für ein System mit mehreren schweren und wenigstens einem leichten Teilchen. Dieses Problem tritt… …   Deutsch Wikipedia

  • Born-Oppenheimer approximation — Borno ir Openheimerio artinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Born Oppenheimer approximation vok. Born Oppenheimer Näherung, f rus. приближение Борна Оппенгеймера, n pranc. approximation de Born Oppenheimer, f …   Fizikos terminų žodynas

  • approximation de Born-Oppenheimer — Borno ir Openheimerio artinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Born Oppenheimer approximation vok. Born Oppenheimer Näherung, f rus. приближение Борна Оппенгеймера, n pranc. approximation de Born Oppenheimer, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Born - von Karman - Modell — Das Born von Kármán Modell ist ein grundlegendes Modell zur Beschreibung der Bewegungen der Atome in einem Kristallgitter. Das Modell besteht aus zwei Beiträgen: Born Oppenheimer Näherung Diese Näherung besagt, dass die Schwingungen der Atome in… …   Deutsch Wikipedia

  • Born-von Kármán-Modell — Das Born von Kármán Modell ist ein grundlegendes Modell zur Beschreibung der Bewegungen der Atome in einem Kristallgitter. Das Modell besteht aus zwei Beiträgen: Born Oppenheimer Näherung Diese Näherung besagt, dass die Schwingungen der Atome in… …   Deutsch Wikipedia

  • Adiabatische Näherung — Die Born Oppenheimer Näherung oder Born Oppenheimer Approximation oder adiabatische Näherung ist eine Methode zur Lösung der Schrödingergleichung für ein System mit mehreren schweren und wenigstens einem leichten Teilchen. Dieses Problem tritt… …   Deutsch Wikipedia

  • J. Robert Oppenheimer — Robert Oppenheimer (ca. 1944) Julius Robert Oppenheimer (* 22. April 1904 in New York, NY, USA; † 18. Februar 1967 in Princeton, New Jersey) war ein US amerikanischer theoretischer Physi …   Deutsch Wikipedia

  • Julius Robert Oppenheimer — Robert Oppenheimer (ca. 1944) Julius Robert Oppenheimer (* 22. April 1904 in New York, NY, USA; † 18. Februar 1967 in Princeton, New Jersey) war ein US amerikanischer theoretischer Physi …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”