Bornsche Regel

Mit der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation (benannt nach Max Born) der Quantenmechanik lassen sich Besonderheiten der Theorie erklären, die mit der klassischen Physik nicht erklärbar scheinen.

Borns probabilistische Deutung der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik müssen vielfach Wahrscheinlichkeitsaussagen getroffen werden. Mittel der sogenannten Bornschen Regel kann die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Eigenwerte einer bestimmten Observablen berechnet werden. Born hat hieran eine probabilistische Deutung des quantenmechanischen Formalismus geknüpft.

Born erklärt |\psi(\mathbf{r},t)|^2 als die räumliche Dichte für die Wahrscheinlichkeit das Quantenobjekt am Ort \mathbf{r} zur Zeit t zu detektieren. So kann zwar nicht der genaue Aufenthaltsort des Teilchens, aber die so genannte Wahrscheinlichkeitsdichte \rho(\mathbf{r},t) = |\psi(\mathbf{r},t)|^2 vorhergesagt werden. Diese Wahrscheinlichkeitsdichte lässt sich bei einer Gruppe (Ensemble) von so genannten „gleichpräparierten Zuständen“ (Teilchen mit gleichen Eigenschaften) als relative Häufigkeitsverteilung deuten. (Früher wurde |\psi(\mathbf{r},t)|^2 fälschlicherweise als Massen- oder Ladungsdichte interpretiert.)

Borns Erklärung des Welle-/Teilchen-Dualismus

Quantenobjekte, zum Beispiel Photonen und Elektronen, zeigen bei verschiedenen Experimenten sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften.

Nach der Bornschen Interpretation breitet sich ein Quantenobjekt, das durch die Wellenfunktion \psi(\mathbf{r},t) beschrieben wird, mit Welleneigenschaften aus. Die Wellenfunktion \psi(\mathbf{r},t) muss die Schrödingergleichung


   i \cdot \hbar \cdot \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r},t) \; = \; \hat H \psi(\mathbf{r}, t)
   \quad \mbox{mit } \mathbf{r} \in \mathbb{R}^3 \mbox{ und } \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + U(\mathbf{r}, t)

erfüllen. Somit werden Welleneigenschaften (bei Ausbreitung) und Teilcheneigenschaften (bei Detektion) von Quantenobjekten mit Hilfe der Wellenfunktion \psi(\mathbf{r},t) zusammengefasst.

Literatur


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