Bose-Einstein-Verteilung

Illustration der Besetzung $\langle n(E)\rangle$ für Bosonen (obere Kurve) bzw. Fermionen (untere Kurve) im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit. Das sog. chemische Potenzial µ ist im Fermifall positiv, bei T = 0 K entspricht es der Fermienergie; im Bose-Fall ist es dagegen ein negativer Parameter, der in bestimmter Weise von Temperatur und Dichte abhängt und im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden würde.

Die Bose-Einstein-Statistik und die Fermi-Dirac-Statistik sind Verteilungen in der Quantenstatistik. Sie beschreiben die mittlere Besetzungszahl $\langle n(E) \rangle$ eines Quantenzustands der Energie E im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur T für identische Bosonen bzw. Fermionen als besetzende Teilchen.

Bei Wechselwirkungsfreiheit ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

$\langle n(E) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E - \mu)} - 1}$

Hierbei ist μ das sog. chemische Potential und β üblicherweise gleich 1 / (k_BT) (mit der Boltzmann-Konstanten k_B und der absoluten Temperatur T). Die Wahl des Faktors β hängt von der verwendeten Temperaturskala ab. Wird die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen, so beträgt er 1 / T. Dies geschieht, wenn der Faktor k_B auch in der Definition der Entropie - welche dann einheitenlos ist - nicht auftaucht.

Man beachte, dass es sich um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck mit dem Entartungsgrad g_i desselben zu multiplizieren!

Im Falle der Fermi-Dirac-Statistik erhält man im Nenner +1 anstelle von -1.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur T_λ erhält man im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit - unter der Annahme, dass μ gegen das Energie-Minimum strebt - die Bose-Einstein-Kondensation.

Für Fermionen existiert analog die sog. Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie E in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Literatur

• U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics - a Concise Overview, Berlin Heidelberg New York, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch)
• L.D. Landau, E.M. Lifschitz, Statistische Physik, Verlag Harri Deutsch, ehem. Akademie Verlag Berlin 1987. (verwendet unübliche Temperatureinheit).