Box' M

Der Boxsche M-Test ist ein Verfahren aus der mathematischen Statistik. Er wird in den multivariaten Verfahren angewendet, beispielsweise bei der Diskriminanzanalyse zum Test auf Gleichheit von Streungen in Gruppen.

Seien p viele Zufallsvektoren Xk (k = 1, ... , p) mit jeweils m Komponenten Xj gegeben. Die Vektoren sind alle mit einem Erwartungswertvektor μk und einer Kovarianzmatrix Σk verteilt.

Die Hypothese soll geprüft werden, dass alle Kovarianzmatrizen gleich sind, also

H_o: \underline \Sigma_1 = \underline \Sigma_2 = ... = \underline \Sigma_p.

Die Prüfgröße für den Test ist das so genannte M von Box,

M= \gamma \sum _{k=1}^p(n_k - 1) \cdot \log|\underline S_k^{-1} \cdot \underline S|

wobei

 \gamma =1- \frac {2m^2 + 3m-1} {6 \cdot (m + 1) \cdot (p-1)} (\sum _{k=1}^p \frac {1} {n_k -1} - \frac {1} {n-p} )

als Korrektur dient. Die Kovarianzmatrix Sk wird geschätzt mit den Komponenten

 s_{rj} = \frac {1} {n_k-1} \sum_{i=1}^{n_k} (x_{ir}- \bar x_r) (x_{ij}- \bar x_j)

und die gepoolte, also mittlere, Kovarianzmatrix durch

\underline S=\frac {1}{n-p} \sum_{k=1}^p (n_k - 1) \cdot \underline S_k  .

Bei jeweils genügend großem nk ist die Prüfgröße annähernd χ2-verteilt mit m(m+1)(p-1)/2 Freiheitsgraden. Wenn die Sk sich insgesamt sehr von S unterscheiden, wird der Wert der Prüfgröße hoch. Ho wird also beim Signifikanzniveau α abgelehnt, wenn M größer ist als das 1-α-Quantil der χ2-Verteilung mit m(m+1)(p-1)/2 Freiheitsgraden.


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