Boxscher M-Test

Der Boxsche M-Test ist ein Verfahren aus der mathematischen Statistik. Er wird in den multivariaten Verfahren angewendet, beispielsweise bei der Diskriminanzanalyse zum Test auf Gleichheit von Streuungen in Gruppen.

Vorausgesetzt wird, dass die m-dimensionalen Daten in den p Gruppen multivariat normalverteilt sind: Nkk) mit Erwartungswertvektoren μk = (μk1,...,μkm) und Kovarianzmatrizen Σk = (σk;rs)r,s = 1,...,m verteilt (k = 1,...,p).

Die Hypothese soll geprüft werden, dass alle Kovarianzmatrizen gleich sind, also

H01 = Σ2 = ... = Σp vs. H1: es gibt min. ein Paar i und j mit  \Sigma_i \neq \Sigma_j.

Die Prüfgröße für den Test ist das so genannte M von Box,

M= \gamma \sum _{k=1}^p(n_k - 1) \cdot \log| S_k^{-1} \cdot S|

wobei

 \gamma =1- \frac {2m^2 + 3m-1} {6 \cdot (m + 1) \cdot (p-1)} \left(\sum _{k=1}^p \frac {1} {n_k -1} - \frac {1} {n-p} \right)

als Korrektur dient. Die Kovarianzmatrix Σk wird aus den Beobachtungen, die zur Gruppe k gehören, geschätzt

 s_{k;rs} = \frac {1} {n_k-1} \sum_{i=1}^{n_k} (x_{ir}- \bar x_r) (x_{is}- \bar x_s)

und die gepoolte, also mittlere, Kovarianzmatrix durch

 S=\frac {1}{n-p} \sum_{k=1}^p (n_k - 1) \cdot S_k  .

Bei jeweils genügend großem nk ist die Prüfgröße annähernd χ2-verteilt mit m(m+1)(p-1)/2 Freiheitsgraden. Wenn die Sk sich insgesamt sehr von S unterscheiden, wird der Wert der Prüfgröße hoch. H0 wird also beim Signifikanzniveau α abgelehnt, wenn M größer ist als das 1-α-Quantil der χ2-Verteilung mit m(m+1)(p-1)/2 Freiheitsgraden.

Der Test reagiert sensitiv auf Verletzungen der Voraussetzung der multivariaten Normalverteilung.


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