Bramble-Hilbert-Lemma

In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach James H. Bramble und Stephen R. Hilbert, den Fehler bei Approximation einer Funktion u durch ein Polynom der maximalen Ordnung m − 1 mit Hilfe der Ableitungen m-ter Ordnung von u ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von u werden durch Lp-Normen auf einem beschränkten Gebiet im \mathbb{R}^n gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von u bei linearer Interpolation von u. Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von u können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten Lp-Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und C1-Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur m-ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens m − 1 erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

Formulierung

Es sei \textstyle \Omega ein beschränktes Gebiet im \textstyle \mathbb{R}^{n} mit Lipschitz-Rand und Durchmesser \textstyle d. Weiter sei m \in \mathbb{N} beliebig und k \in \{0, \ldots, m\}.

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem u \in W_p^k(\Omega) ein Polynom p existiert, dessen Grad höchstens m − 1 beträgt, so dass die Ungleichung

\|u-p\|_{W_p^k(\Omega)} \leq C d^{m-k}\|u\|_{W_p^m(\Omega)}

mit einer Konstanten C = C(m,Ω) erfüllt ist. Hierbei steht W_p^k(\Omega) für den Sobolew-Raum.

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Bramble-Hilbert lemma — In mathematics, particularly numerical analysis, the Bramble Hilbert lemma, named after James H. Bramble and Stephen R. Hilbert, bounds the error of an approximation of a function extstyle u by a polynomial of order at most extstyle m 1 in terms… …   Wikipedia

  • Bramble — ist der Familienname folgender Personen: Livingstone Bramble (* 1960), Boxer aus St. Kitts und Nevis Titus Bramble (* 1981), englischer Fußballspieler Sonstiges: Bramble (Indiana), Ort in den Vereinigten Staaten Bramble Cay, nördlichste Insel… …   Deutsch Wikipedia

  • List of numerical analysis topics — This is a list of numerical analysis topics, by Wikipedia page. Contents 1 General 2 Error 3 Elementary and special functions 4 Numerical linear algebra …   Wikipedia

  • List of lemmas — This following is a list of lemmas (or, lemmata , i.e. minor theorems, or sometimes intermediate technical results factored out of proofs). See also list of axioms, list of theorems and list of conjectures. 0 to 9 *0/1 Sorting Lemma ( comparison… …   Wikipedia

  • List of mathematics articles (B) — NOTOC B B spline B* algebra B* search algorithm B,C,K,W system BA model Ba space Babuška Lax Milgram theorem Baby Monster group Baby step giant step Babylonian mathematics Babylonian numerals Bach tensor Bach s algorithm Bachmann–Howard ordinal… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”